10. Description des versions du document#
Version Aster |
Auteur(s) Organisme(s) |
Description des modifications |
5 |
P.Massin, A.Laulusa EDF-R&D/MMN |
Texte initial |
7.4 |
X.Desroches |
Mise à jour : modifications mineures |
Extension aux matériaux anisotropes non programmée
On considère que la coque est constituée d’un matériau orthotrope, d’axes d’orthotropie \({\tilde{\tilde{x}}}_{k}\) associés à la base \({k}_{k}\) . La loi de comportement dans ces axes s’écrit:
\(\underset{(6\times 1)}{\tilde{\tilde{\varepsilon}}}=\underset{(6\times 6)}{{\tilde{\tilde{S}}}_{k}}\underset{(6\times 1)}{\tilde{\tilde{\sigma}}}\)
où \(\tilde{S}\) est la matrice de souplesse du constituant \(k\) .
Soient \(\tilde{\varepsilon}\) et \(\tilde{\sigma}\) , les tenseurs de déformation et de contraintes dans les axes \({\tilde{x}}_{k}\) , on a:
\(\begin{array}{c}\tilde{\sigma}={}^{t}\text{}Q\tilde{\tilde{\sigma}}Q\\ \tilde{\varepsilon}={}^{t}\text{}Q\tilde{\tilde{\varepsilon}}Q\end{array}\)
où \(Q={\left[{T}_{1},{T}_{2},{T}_{3}\right]}_{/{k}_{k}}\) (\({Q}_{ij}={T}_{i}.{k}_{j}\) ) est la matrice des cosinus directeurs de \({T}_{k}\) dans la base \({k}_{k}\) .
Sous forme vectorielle, on a:
\(\begin{array}{c}\tilde{\sigma}=\tilde{T}\tilde{\tilde{\sigma}}\\ \tilde{\varepsilon}=\tilde{T}\tilde{\tilde{\varepsilon}}\end{array}\)
où les composantes de \(\tilde{T}\) sont définies en fonction de celles de \(Q\) .
Inversement, on a:
\(\begin{array}{c}\tilde{\tilde{\sigma}}={\tilde{T}}^{\text{-1}}\tilde{\sigma}\\ \tilde{\tilde{\varepsilon}}={\tilde{T}}^{\text{-1}}\tilde{\varepsilon}\end{array}\)
donc, on obtient:
\(\tilde{\varepsilon}=\tilde{T}{\tilde{\tilde{S}}}_{k}{\tilde{T}}^{-1}\tilde{\sigma}\)
qu’on écrit:
\(\tilde{\varepsilon}={\tilde{S}}_{k}\tilde{\sigma}\)
Pour être cohérent avec l’hypothèse de contrainte plane \({\tilde{\sigma}}_{33}=0\) , on écrit:
\(\underset{(5\times 1)}{{\tilde{\varepsilon}}_{r}}=\underset{(5\times 5)}{{\tilde{S}}_{\text{kr}}}\underset{(5\times 1)}{{\tilde{\sigma}}_{r}}\)
avec le symbole r comme réduit, ce qui donne:
\({\tilde{\sigma}}_{r}={\tilde{C}}_{k}{\tilde{\varepsilon}}_{r},{\tilde{C}}_{k}={\tilde{S}}_{\text{kr}}^{-1}\)
qu’on récrit en omettant le symbole \(r\) ,
\(\tilde{\sigma}={\tilde{C}}_{k}\tilde{\varepsilon}\)
L’énergie de déformation élastique \({W}^{\text{el}}\) est:
\({W}^{\text{el}}=\frac{1}{2}{}^{t}\text{}{\tilde{q}}^{e}\underset{-1}{\overset{1}{\int}}\underset{\text{Ar}}{\overset{}{\int}}{}^{t}\text{}\tilde{B}{\tilde{C}}_{k}\tilde{B}\detJd{\xi}_{1}d{\xi}_{2}d{\xi}_{3}{\tilde{q}}^{e}\)
Si la coque est constituée de \(\mathit{Nc}\) couches, chaque couche étant considérée comme un constituant \(k\) , alors:
\({W}^{\text{el}}=\frac{1}{2}{}^{t}\text{}{\tilde{q}}^{e}\sum_{k=1}^{\text{Nc}}\underset{2{e}_{k}^{-}/h}{\overset{2{e}_{k}^{+}/h}{\int}}\underset{\text{Ar}}{\overset{}{\int}}{}^{t}\text{}\tilde{B}\tilde{{C}_{k}}\stackrel{}{˜}B\detJd{\xi}_{1}d{\xi}_{2}d{\xi}_{3}{\stackrel{}{˜}q}^{e}\)
où \({e}_{k}^{-}\) et \({e}_{k}^{+}\) sont les abscisses des bornes inférieure et supérieure de la couche \(k\) d’épaisseur
\({e}_{k}={e}_{k}^{+}-{e}_{k}^{-}\) , avec \({e}_{1}^{-}=-h/2\) et \({e}_{\text{Nc}}^{+}=h/2\) .
En posant:
\({\xi}_{3}=\frac{{e}_{k}}{h}{\overline{\xi}}_{3}+\frac{{e}_{k}^{+}+{e}_{k}^{-}}{h},{\overline{\xi}}_{3}\in \left[-1,1\right]\)
on a:
\({W}^{\text{el}}=\frac{1}{2}{}^{t}\text{}{\tilde{q}}^{e}\sum_{k=1}^{\text{Nc}}\frac{{e}_{k}}{h}\underset{-1}{\overset{1}{\int}}\underset{\text{Ar}}{\overset{}{\int}}{}^{t}\text{}\tilde{B}{\tilde{C}}_{k}\tilde{B}\detJ({\xi}_{1},{\xi}_{2},{\overline{\xi}}_{3})d{\xi}_{1}d{\xi}_{2}d{\overline{\xi}}_{3}{\tilde{q}}^{e}\)
De même, pour le travail dû aux dilatations thermiques \({W}^{\text{th}}\) , on a:
\({\tilde{\tilde{\varepsilon}}}_{\text{th}}^{k}=({\alpha}_{1}^{k}T,{\alpha}_{2}^{k}T,{\alpha}_{3}^{k}T,0,0,0)\)
où les \({\alpha}_{i}^{k}\) sont les coefficients de dilatation thermique de la couche \(k\) dans les axes d’orthotropie (\({\tilde{\tilde{\xi}}}_{k}\) ).
Avec la relation:
\({\tilde{\varepsilon}}_{\text{th}}^{k}=\tilde{T}{\tilde{\tilde{\varepsilon}}}_{\text{th}}^{k}\)
on obtient:
\({W}^{\text{th}}\text{=-}{}^{t}\text{}{\tilde{q}}^{e}\underset{-1}{\overset{1}{\int}}\underset{\text{Ar}}{\overset{}{\int}}{}^{t}\text{}\tilde{B}(-{\tilde{C}}_{k}{\tilde{\varepsilon}}_{\text{th}}^{k})\detJd{\xi}_{1}d{\xi}_{2}d{\xi}_{3}\)
Soit:
\({W}^{\text{th}}={}^{t}\text{}{\tilde{q}}^{e}\sum_{h=1}^{\text{Nc}}\frac{{e}_{k}}{h}\underset{-1}{\overset{1}{\int}}\underset{\text{Ar}}{\overset{}{\int}}{}^{t}\text{}\tilde{B}{\tilde{C}}_{k}{\tilde{\varepsilon}}_{\text{th}}^{k}\detJd{\xi}_{1}d{\xi}_{2}d{\overline{\xi}}_{3}\)
Fonctions de forme pour l’élément Q9H
Ces fonctions sont données à la page 174 de [bib8].
A2.1 Fonctions de forme pour les translations
Les 8 fonctions de forme de Lagrange incomplet de l’élément quadrangle Q9H [Figure A2.2-a] pour l’interpolation des déplacements \({u}_{k}\) sont:
\({N}_{i}^{(1)}({\xi}_{1},{\xi}_{2})=\frac{1}{4}(-1+{\xi}_{\mathrm{1i}}{\xi}_{1}+{\xi}_{\mathrm{2i}}{x}_{2})(1+{\xi}_{\mathrm{1i}}{\xi}_{1})(1+{x}_{\mathrm{2i}}{\xi}_{2})i=1,2,3,4\)
\({N}_{i}^{(1)}({\xi}_{1},{\xi}_{2})=\frac{1}{2}(1-{x}_{1}^{2})(1+{\xi}_{\mathrm{2i}}{\xi}_{2})i=5,7\)
\({N}_{i}^{(1)}({\xi}_{1},{\xi}_{2})=\frac{1}{2}(1-{x}_{2}^{2})(1+{\xi}_{\mathrm{1i}}{\xi}_{1})i=6,8\)
avec: \(\begin{array}{c}{\xi}_{\mathrm{1i}}\text{=-}\mathrm{1i}=1,8,4;\\ {\xi}_{\mathrm{1i}}=\mathrm{0i}=5,7;\\ {\xi}_{\mathrm{1i}}\text{=+}\mathrm{1i}=2,6,3.\end{array}\) et \(\begin{array}{c}{\xi}_{\mathrm{2i}}\text{=-}\mathrm{1i}=1,5,2;\\ {\xi}_{\mathrm{2i}}=\mathrm{0i}=6,8;\\ {\xi}_{\mathrm{2i}}\text{=+}\mathrm{1i}=3,7,4.\end{array}\) .
A2.2 Fonctions de forme pour les rotations
Les 9 fonctions de forme de Lagrange de l’élément quadrangle Q9H [Figure A2.2-a] pour l’interpolation des rotations \({\tilde{\theta}}_{\alpha}\) sont:
\({N}_{i}^{(2)}({x}_{1},{\xi}_{2})={N}_{i}({\xi}_{1}){N}_{i}({\xi}_{2})\) où \({N}_{i}({\xi}_{P})=\underset{\mathit{r¹i}}{P}\frac{{\xi}_{\text{Pr}}-{\xi}_{P}}{{\xi}_{\text{Pr}}-{\xi}_{Pi}}\) pour \(p=1,2\) et où \(r\) décrit l’ensemble des deux nœuds alignés avec le nœud \(i\) dans la direction \({\xi}_{P}\) .
On a: \(\begin{array}{c}{x}_{\mathrm{1i}}\text{=-}\mathrm{1i}=1,8,4;\\ {x}_{\mathrm{1i}}=\mathrm{0i}=5,7;\\ {x}_{\mathrm{1i}}\text{=+}\mathrm{1i}=2,6,3.\end{array}\) et \(\begin{array}{c}{x}_{\mathrm{2i}}\text{=-}\mathrm{1i}=1,5,2;\\ {x}_{\mathrm{2i}}=\mathrm{0i}=6,8;\\ {x}_{\mathrm{2i}}\text{=+}\mathrm{1i}=3,7,4.\end{array}\) .
Figure A2.2-a: Degrés de liberté pour les translations et les rotations de l’élément quadrangle Q9H
Fonctions de forme pour l’élément T7H
A3.1 Fonctions de forme pour les translations
Les 6 fonctions de forme de l’élément triangulaire T7H [Figure A3.2-a] pour l’interpolation des déplacements \({u}_{k}\) sont données à la page 175 de [bib8]:
\({N}_{1}^{(1)}\left({x}_{1},{x}_{2}\right)=\lambda (2\lambda -1)\)
\({N}_{2}^{(1)}\left({x}_{1},{x}_{2}\right)={x}_{1}({\mathrm{2x}}_{1}-1)\)
\({N}_{3}^{(1)}\left({x}_{1},{x}_{2}\right)={x}_{2}({\mathrm{2x}}_{2}-1)\)
\({N}_{4}^{(1)}\left({x}_{1},{x}_{2}\right)={\mathrm{4x}}_{1}\lambda\)
\({N}_{5}^{(1)}\left({x}_{1},{x}_{2}\right)={\mathrm{4x}}_{1}{x}_{2}\)
\({N}_{6}^{(1)}\left({x}_{1},{x}_{2}\right)=4\lambda {x}_{2}\)
où: \(\lambda =1-{x}_{1}-{x}_{2}\)
A3.2 Fonctions de forme pour les rotations
Les 7 fonctions de forme de l’élément triangulaire T7H [Figure A3.2-a] pour l’interpolation des rotations \({\tilde{q}}_{\alpha}\) sont:
\({N}_{1}^{(2)}\left({x}_{1},{x}_{2}\right)=\left(1-{x}_{1}-{x}_{2}\right)\left[2\left(1-{x}_{1}-{x}_{2}\right)-1\right]+\frac{1}{9}{N}_{7}^{(2)}\)
\({N}_{2}^{(2)}\left({x}_{1},{x}_{2}\right)={x}_{1}\left({\mathrm{2x}}_{1}-1\right)+\frac{1}{9}{N}_{7}^{(2)}\)
\({N}_{3}^{(2)}\left({x}_{1},{x}_{2}\right)={x}_{2}\left({\mathrm{2x}}_{2}-1\right)+\frac{1}{9}{N}_{7}^{(2)}\)
\({N}_{4}^{(2)}\left({x}_{1},{x}_{2}\right)={\mathrm{4x}}_{1}\left(1-{x}_{1}-{x}_{2}\right)-\frac{4}{9}{N}_{7}^{(2)}\)
\({N}_{5}^{(2)}\left({x}_{1},{x}_{2}\right)={\mathrm{4x}}_{1}{x}_{2}-\frac{4}{9}{N}_{7}^{(2)}\)
\({N}_{6}^{(2)}\left({x}_{1},{x}_{2}\right)={\mathrm{4x}}_{2}\left(1-{x}_{1}-{x}_{2}\right)-\frac{4}{9}{N}_{7}^{(2)}\)
avec:
\({N}_{7}^{(2)}({x}_{1},{x}_{2})=27{x}_{1}{x}_{2}(1-{x}_{1}-{x}_{2})\)
Figure A3.2-a: Degrés de liberté pour les translations et les rotations de l’élément triangle T7H
7
6
3
5
2
4
1
6
5
4
3
2
1
6
4
3
1
5
2