2. Solution de référence#
2.1. Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence#
La référence [bib3] fournit la formule générale des modes de ballottement d’un domaine fluide compressible comprenant une surface libre, contenu dans un réservoir parallélépipédique à parois rigides:
\({f}_{ij}=\frac{1}{2\pi }\sqrt{\pi g\sqrt{\frac{{i}^{2}}{{L}^{2}}+\frac{{j}^{2}}{{l}^{2}}}\tanh\left[\pi H\sqrt{\frac{{i}^{2}}{{L}^{2}}+\frac{{j}^{2}}{{l}^{2}}}\right]}\)
où \(i\) et \(j\) sont les ordres entiers des modes longitudinaux et transversaux (nombre de lignes nodales dans chaque direction horizontale). Les modes de pressions fluctuantes ont une expression de la forme:
\({p}_{ij}(x,y,z)=\cos\left(i\pi \frac{2x+l}{2l}\right)\cos\left(j\pi \frac{2y+L}{2L}\right)\left(\cosh\left({\lambda}_{ij}(H-z)\right)+{A}_{ij}\sinh\left({\lambda}_{ij}(H-z)\right)\right)\)
où \({\lambda}_{ij}\) désigne le nombre d’onde vertical vérifiant: \({\lambda}_{ij}H\tanh\left({\lambda}_{ij}H\right)=4{\pi}^{2}{f}_{ij}H/g\) et avec un coefficient vérifiant: \({A}_{ij}=-\tanh\left({\lambda}_{ij}H\right)\) . Les pressions fluctuantes de ballottement sont maximales en surface libre. La hauteur du niveau de la surface libre s’exprime par: \({z}_{l}(x,y)={p}_{ij}(x,y,0)/(\rho .g)\) .
Dans le cas particulier où \(\frac{L}{l}\) est grand, la formule se simplifie pour les modes longitudinaux [bib1], [bib2].
La référence [bib3] fournit également la formule générale des modes acoustiques d’un domaine fluide compressible comprenant une surface libre contenu dans un réservoir parallélépipédique à parois rigides:
\({f}_{\mathit{ijk}}=\frac{c}{2}\sqrt{\frac{{i}^{2}}{{L}^{2}}+\frac{{j}^{2}}{{l}^{2}}+\frac{{(2k+1)}^{2}}{4{h}^{2}}}\)
où \(i\) , \(j\) et \(k\) sont les ordres entiers des modes longitudinaux, transversaux et verticaux (nombre de lignes nodales dans chaque direction horizontale et la direction verticale).
2.2. Résultats de référence#
Pour \(L=0.8m\) , \(l=0.1m\) et \(h=0.3\phantom{\rule{2em}{0ex}}m\) les premiers modes de ballottement ont pour fréquences:
Mode \(i\) , \(j\) |
Fréquence (\(\mathit{Hz}\) ) |
1, 0 |
0,898252 |
2, 0 |
1,384516 |
3, 0 |
1,709525 |
4, 0 |
1,975511 |
5, 0 |
2,208850 |
6, 0 |
2,419691 |
7, 0 |
2,613567 |
8, 0 |
2,794020 |
0, 1 |
2,794020 |
1, 1 |
2,804871 |
Pour \(L=0.8m\) , \(l=0.1m\) et \(h=0.3\phantom{\rule{2em}{0ex}}m\) les premiers modes acoustiques ont pour fréquences:
Mode \(i\) , \(j\) , \(k\) |
Fréquence (\(\mathit{Hz}\) ) |
0, 0, 0(1ermode selon \(z\) ) |
1166,67 |
1, 0, 0(1ermode selon \(x\) ) |
1458,33 |
2, 0, 0 |
2103,24 |
3, 0, 0 |
2872,58 |
0, 0, 1 |
3500,00 |
2.3. Références bibliographiques#
WAECKEL F., LEPOUTERE C. Note interne EDF/DER « Effet de la pesanteur sur la surface libre d’un fluide couplé à une structure », HP-61/93/139.
MUTO, KASA, NAKAHARA, ISHIDA « Experimental tests on sloshing response of a water pool with submerged blocks » - ASME, vol PVP 98, (1985).
BLEVINS R.D. Formulas for natural frequency and mode shape. Ed Krieger