Solution de référence
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Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence
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La référence [:ref:`bib3 <bib3>`] fournit la formule générale des modes de ballottement d'un domaine fluide compressible comprenant une surface libre, contenu dans un réservoir parallélépipédique à parois rigides:

:math:`{f}_{ij}=\frac{1}{2\pi }\sqrt{\pi g\sqrt{\frac{{i}^{2}}{{L}^{2}}+\frac{{j}^{2}}{{l}^{2}}}\tanh\left[\pi H\sqrt{\frac{{i}^{2}}{{L}^{2}}+\frac{{j}^{2}}{{l}^{2}}}\right]}`

où :math:`i` et :math:`j` sont les ordres entiers des modes longitudinaux et transversaux (nombre de lignes nodales dans chaque direction horizontale). Les modes de pressions fluctuantes ont une expression de la forme:

:math:`{p}_{ij}(x,y,z)=\cos\left(i\pi \frac{2x+l}{2l}\right)\cos\left(j\pi \frac{2y+L}{2L}\right)\left(\cosh\left({\lambda}_{ij}(H-z)\right)+{A}_{ij}\sinh\left({\lambda}_{ij}(H-z)\right)\right)`

où :math:`{\lambda}_{ij}` désigne le nombre d’onde vertical vérifiant: :math:`{\lambda}_{ij}H\tanh\left({\lambda}_{ij}H\right)=4{\pi}^{2}{f}_{ij}H/g` et avec un coefficient vérifiant: :math:`{A}_{ij}=-\tanh\left({\lambda}_{ij}H\right)` . Les pressions fluctuantes de ballottement sont maximales en surface libre. La hauteur du niveau de la surface libre s’exprime par: :math:`{z}_{l}(x,y)={p}_{ij}(x,y,0)/(\rho .g)` .

Dans le cas particulier où :math:`\frac{L}{l}` est grand, la formule se simplifie pour les modes longitudinaux [:ref:`bib1 <bib1>`], [:ref:`bib2 <bib2>`].

La référence [:ref:`bib3 <bib3>`] fournit également la formule générale des modes acoustiques d'un domaine fluide compressible comprenant une surface libre contenu dans un réservoir parallélépipédique à parois rigides:

:math:`{f}_{\mathit{ijk}}=\frac{c}{2}\sqrt{\frac{{i}^{2}}{{L}^{2}}+\frac{{j}^{2}}{{l}^{2}}+\frac{{(2k+1)}^{2}}{4{h}^{2}}}`

où :math:`i` , :math:`j` et :math:`k` sont les ordres entiers des modes longitudinaux, transversaux et verticaux (nombre de lignes nodales dans chaque direction horizontale et la direction verticale).


Résultats de référence
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Pour :math:`L=0.8m` , :math:`l=0.1m` et :math:`h=0.3\phantom{\rule{2em}{0ex}}m` les premiers modes de ballottement ont pour fréquences:


.. csv-table::

    "Mode :math:`i` , :math:`j`", "Fréquence (:math:`\mathit{Hz}` )"
    "1, 0", "0,898252"
    "2, 0", "1,384516"
    "3, 0", "1,709525"
    "4, 0", "1,975511"
    "5, 0", "2,208850"
    "6, 0", "2,419691"
    "7, 0", "2,613567"
    "8, 0", "2,794020"
    "0, 1", "2,794020"
    "1, 1", "2,804871"


Pour :math:`L=0.8m` , :math:`l=0.1m` et :math:`h=0.3\phantom{\rule{2em}{0ex}}m` les premiers modes acoustiques ont pour fréquences:


.. csv-table::

    "Mode :math:`i` , :math:`j` , :math:`k`", "Fréquence (:math:`\mathit{Hz}` )"
    "0, 0, 0(1ermode selon :math:`z` )", "1166,67"
    "1, 0, 0(1ermode selon :math:`x` )", "1458,33"
    "2, 0, 0", "2103,24"
    "3, 0, 0", "2872,58"
    "0, 0, 1", "3500,00"



Références bibliographiques
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1.  WAECKEL F., LEPOUTERE C. Note interne EDF/DER "Effet de la pesanteur sur la surface libre d'un fluide couplé à une structure", HP-61/93/139.


2.  MUTO, KASA, NAKAHARA, ISHIDA "Experimental tests on sloshing response of a water pool with submerged blocks" - ASME, vol PVP 98, (1985).


3.  BLEVINS R.D. Formulas for natural frequency and mode shape. Ed Krieger