2. Solution de référence

2.1. Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence

Compte tenu de la symétrie des conditions aux limites, la solution est indépendante de \(y\) . Pour la partie mécanique, l’équilibre mécanique du squelette s’écrit en projection sur l’axe \((\mathrm{0x})\) :

\(({\lambda}_{1}^{M}+2{\lambda}_{2}^{M})\frac{{\partial}^{2}{u}_{x}}{\partial {x}^{2}}-b\frac{\partial p}{\partial x}-\mathrm{rg}=0\)

où \({\lambda}_{1}^{M}\) et \({\lambda}_{2}^{M}\) désignent les coefficients de Lamé du matériau. Pour la partie hydraulique, la conservation de la masse d’eau s’écrit

\(\frac{\partial {M}_{x}}{\partial x}=0\)

avec

\(\frac{{M}_{x}}{\rho}={\lambda}^{H}(\frac{\partial p}{\partial x}-\rho g)\)

où \({\lambda}^{H}\) désigne la conductivité hydraulique. La pression est alors donnée par la formule

\(p={P}_{0}+\rho g(L-x)\)

Les déplacements horizontaux \({u}_{x}\) sont donnés par

\({u}_{x}=\frac{1}{2}\frac{r-b\rho }{{\lambda}_{1}^{M}+2{\lambda}_{2}^{M}}\mathrm{gx}(x-2L)+\frac{b{P}_{0}}{{\lambda}_{1}^{M}+2{\lambda}_{2}^{M}}x\)

2.2. Résultats de référence

On rappelle les formules donnant les coefficients de Lamé en fonction du module de Young et du coefficient de Poisson

\({\lambda}_{1}^{M}=\frac{E\nu }{(1+\nu )(1-2\nu )}\) et \({\lambda}_{2}^{M}=\frac{E\nu }{2(1+\nu )}\)

Le résultat de référence est la valeur des déplacements et de la pression au point \(P\) .

2.3. Incertitude sur la solution

Solution analytique.