1. Problème de référence#

1.1. Géométrie du problème 2D (modélisation A et B)#

Soit une colonne de sol de longueur \(L=\mathit{LX}\) et de hauteur \(H=\mathrm{10m}\) . Cette colonne présente en \(X={L}_{d}\) une discontinuité de type interface (interface non maillée qui est introduite dans le modèle par l’intermédiaire des level-sets grâce à l’opérateur DEFI_FISS_XFEM). Le barreau est entièrement traversé par la discontinuité (au niveau de l’approximation des champs de déplacement et de pression de pore du massif, on ne prend en compte que l’enrichissement Heaviside ).

La température au sein de la colonne est uniforme quel que soit l’instant \(t\) . La colonne est de plus entièrement saturée par un fluide (de l’eau par exemple) et les effets des forces de pesanteur ne sont pas pris en compte.

Afin d’avoir une solution unidimensionnelle (selon la direction \(y\) du repère d’espace) le coefficient de Poisson est pris nul.

Sur la est représentée la géométrie de la colonne de sol.

Figure1.1-1: Géométrie du problème 2D

1.2. Géométrie du problème 3D (modélisations C et D)#

Soit une colonne de sol de longueur \(L=\mathit{LX}\) , d’épaisseur \(E=\mathrm{1m}\) et de hauteur \(H=\mathrm{10m}\) . Cette colonne présente en \(X={L}_{d}\) une discontinuité de type interface (interface non maillée qui est introduite dans le modèle par l’intermédiaire des level-sets grâce à l’opérateur DEFI_FISS_XFEM). Le barreau est entièrement traversé par la discontinuité (au niveau de l’approximation des champs de déplacement et de pression de pore du massif, on ne prend en compte que l’enrichissement Heaviside ).

La température au sein de la colonne est uniforme quelque soit l’instant \(t\) . La colonne est de plus entièrement saturée par un fluide (de l’eau par exemple) et les effets des forces de pesanteur ne sont pas pris en compte.

Afin d’avoir une solution unidimensionnelle (selon la direction \(z\) du repère d’espace) le coefficient de Poisson est pris nul.

Sur la est représentée la géométrie de la colonne de sol.

Figure1.2-1: Géométrie du problème 3D

1.3. Propriétés du matériau#

Les paramètres donnés dans le Tableau , correspondent aux paramètres utilisés pour la modélisation dans le cas couplé hydromécanique. La loi de couplage utilisée est “LIQU_SATU”.


Liquide (eau)	Viscosité \({\mu}_{w}(\mathit{en}\mathit{Pa.s})\) : Module de compressibilité \(\frac{1}{{K}_{w}}(\mathit{en}{\mathit{Pa}}^{\text{-1}})\) : Densité du liquide \({\rho}_{w}(\mathit{en}\mathit{kg}/{m}^{3})\) : Perméabilité relative au fluide \({k}_{\text{lq}}^{\text{rel}}\left({S}_{\text{lq}}\right)\) :	\({10}^{\text{-3}}\) \(0\) \(1000\) \(1\)
Paramètres élastiques	Module de Young drainé \(E(\mathit{en}\mathit{MPa})\) : Coefficient de Poisson \(\nu\) :	\(10\) \(0\)
Paramètres de couplage	Coefficient de Biot \(b\) : Masse volumique homogénéisée initiale \({r}_{0}(\mathit{en}\mathit{kg}/{m}^{3})\) : Perméabilité intrinsèque \({K}^{int}(\mathit{en}{m}^{2}/s)\) :	\(1\) \(2800\) \({10}^{\text{-8}}\)

Tableau 1.3-1 : Propriétés du matériau

La porosité du matériau est prise égale à \(\varphi =0,5\) .

1.4. Conditions aux limites, conditions initiales et chargements#

1.4.1. Conditions aux limites cas 2D#

Les déplacements sont bloqués sur les faces [AD] et [BC] dans la direction horizontale, et sur la face inférieure [AB] aussi bien dans la direction verticale qu’horizontale. Sur l’interface, les déplacements horizontaux sont bloqués.

La pression de pore au sommet de la colonne est nulle quelque soit l’instant considéré, c’est-à-dire \(p\left(H,t\right)=0.0\) .

1.4.2. Conditions aux limites cas 3D#

Les déplacements sont bloqués sur la face [ABFE]. Les déplacements selon (0x) sont bloqués sur les faces [EADH], [FBCG] ainsi que sur l’interface. Les déplacements selon (Oy) sont bloqués sur les faces [ABCD] et [EFGH].

La pression de pore au sommet de la colonne est nulle quel que soit l’instant considéré, c’est-à-dire \(p\left(H,t\right)=0.0\) .

1.4.3. Chargements et conditions initiales#

Afin de partir d’un chargement différent de part et d’autre de la fracture, on cherche à créer initialement dans la colonne une discontinuité du champ de pression sur le toit de la colonne. Ainsi pour la partie de la colonne située à gauche, la charge imposée est \({F}_{G}=-1.0\mathit{Pa}\) et pour la partie de la colonne située à droite, la charge imposée est \({F}_{D}=-1.54\mathit{Pa}\) .

Les conditions initiales en pression pour l’équilibre hydraulique s’écrivent donc:

\({p}^{G}(y,0)=-\frac{{F}_{G}}{b}=1.0\mathit{Pa}\)
\({p}^{D}(y,0)=-\frac{{F}_{D}}{b}=1.54\mathit{Pa}\)

Les conditions aux limites sont résumées sur la :

Figure 1.4.3-1Conditions aux limites et initiales pour la modélisation 2D

La fracture est indiquée en rouge sur la . Aucune condition aux limites n’est appliquée sur cette interface.

1.4.4. Remarque sur la modélisation utilisée#

Compte tenu de la discontinuité du champ de pression au sommet de la colonne [V7.30.100], on remarque que:

\(\lbrace \begin{array}{c}p(y,0)=-\frac{{F}_{0}}{b}\mathit{si}y<H\\ p(y,0)=0\mathit{si}y=H\end{array}\)

Cette particularité de la solution confère une instabilité au niveau de la résolution numérique (apparition d’oscillations) du problème couplé en haut de la colonne. Cela est lié au nom respect de la condition LBB [V7.30.100].

En effet dans le cas classique, la modélisation de type D_PLAN_HMD est utilisée pour y parvenir. Or en HM-XFEM seule l’extension de la modélisation D_PLAN_HM a été effectuée. Les résultats (pour le cas HM-XFEM) obtenus en haut de la colonne sont donc à prendre avec précaution. On observe en effet que les résultats obtenus avec le modèle HM-XFEM sont moins précis en haut de la colonne, surtout pour des temps petits. Mais ces résultats sont similaires à ceux obtenus avec la modélisation de type D_PLAN_HM dans le cas classique.