\[\newcommand{\vector}[1]{\underline{#1}}
\newcommand{\vectorZero}{\vector{0}}
\newcommand{\tensTwo}[1]{\boldsymbol{#1}}
\newcommand{\tensTwoZero}{\tensTwo{0}}
\newcommand{\tensTwoUnit}{\tensTwo{I}}
\newcommand{\tensFour}[1]{\mathbb{#1}}
\newcommand{\inverse}[1]{{#1}^{-1}}
\newcommand{\transpose}[1]{{#1}^{T}}
\newcommand{\inverseTranspose}[1]{ {#1}^{-T}}
\newcommand{\vectorCmp}[2]{#1_{\left(#2\right)}}
\newcommand{\vectorCmpCO}[2]{#1_{\left(#2\right)}}
\newcommand{\vectorCmpCT}[2]{#1^{\left(#2\right)}}
\newcommand{\tensTwoCmpCO}[3]{#1_{\left(#2 #3\right)}}
\newcommand{\tensTwoCmpCT}[3]{#1^{\left(#2 #3\right)}}
\newcommand{\tensTwoInva}[2]{I^{#1}_{#2}}
\newcommand{\tensTwoDevia}[1]{\boldsymbol{\tilde{#1}}}
\newcommand{\tensFourCmpCO}[5]{#1_{\left(#2 #3 #4 #5\right)}}
\newcommand{\tensFourCmpCT}[5]{#1^{\left(#2 #3 #4 #5\right)}}
\newcommand{\domain}{\Omega}
\newcommand{\domainRefe}{\domain^{0}}
\newcommand{\domainCurr}{\domain^{t}}
\newcommand{\bound}{\partial\domain}
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\newcommand{\boundD}{\bound_{\textrm{D}}}
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\newcommand{\normal}{\vector{n}}
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\newcommand{\posi}{\vector{x}}
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\newcommand{\disp}{\vector{u}}
\newcommand{\dispVirt}{\delta\vector{v}}
\newcommand{\funcTransfor}{\vector{\varphi}^{t}}
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\newcommand{\strainCmp}{\varepsilon}
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\newcommand{\divTensTwo}[1]{\vector{\nabla} {\cdot} #1 }
\newcommand{\divVector}[1]{\vector{\nabla} {\cdot} #1 }
\newcommand{\gradScal}[1]{\vector{\nabla} #1 }
\newcommand{\gradVector}[1]{\vector{\nabla} \times #1 }
\DeclareMathOperator{\rand}{rand}
\DeclareMathOperator{\round}{round}
\DeclareMathOperator{\trace}{trace}
\DeclareMathOperator{\rank}{rang}
\DeclareMathOperator{\dev}{dev}
\DeclareMathOperator{\cot}{cot}
\newcommand{\metric} {\tensTwo{g}}
\newcommand{\vectorBaseCV}[1]{\vector{g_{#1}}}
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\newcommand{\discVect}[1]{\lbrace #1 \rbrace}
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\newcommand{\onQuadPoint}[2]{{#1}_{#2}}
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\newcommand{\work}[1]{W^{#1}}
\newcommand{\enerInterne}{\Psi_i}
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\newcommand{\presCapi}{\pres_{c}}
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\newcommand{\shapeFunc}{\Phi}
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\newcommand{\measLine}{\, \mathrm{d} l}
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\newcommand{\normEucl}[1]{\Vert{#1} \Vert }
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\newcommand{\derivee}[2]{#1_{, #2}}
\newcommand{\soundSpeed}{c}
\newcommand{\soundSpeedComp}{c_{P}}
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\newcommand{\posiTang}{\posi_{\tau}}
\newcommand{\posiNorm}{{x}_{n}}
\newcommand{\dispTang}{\disp_{\tau}}
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\newcommand{\basisVector}[1]{\vector{e}_{#1}}
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\newcommand{\sigmVectorTang}{\sigmVector_{\tau}}
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\newcommand{\lameLambda}{\lambda}
\newcommand{\lameMu}{\mu}
\newcommand{\temp}{T}
\newcommand{\therCp}{C_{p}}
\newcommand{\therFlux}{\vector{q}}
\newcommand{\therCondTher}{\lambda}
\newcommand{\therSource}{s}
\newcommand{\tempVirt}{\delta T}
\newcommand{\beamArea}{S}
\newcommand{\beamLength}{L}
\newcommand{\setC}{\mathbb{C}}
\newcommand{\setR}{\mathbb{R}}\]
2. Solution de reference#
2.1. Essai de fluage propre#
On présente dans cette section la solution d’un essai de fluage propre en compression simple avec le modèle BETON_AGEING sur un échantillon saturé (le tenseur des contraintes effectives est alors égal au tenseur des contraintes totales). L’état de contrainte exercé à tout instant \(t\) est écrit dans la base cartésienne \((\tensTwo{e}_x,\tensTwo{e}_y,\tensTwo{e}_z)\) :
\[\begin{split}\stress = \begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & \stressCmp_{zz}(t)
\end{pmatrix}
\quad\text{avec}\quad
\stressCmp_{zz}(t) =
\begin{cases}
\stressCmp_0 \quad &\text{si} \quad t>t_i \\
0 \quad &\text{si} \quad t<t_i
\end{cases}\end{split}\]
où \(t_i\) désigne l’instant d’application instantanée de la charge (ce dernier étant strictement supérieur à l’instant \(t_0\) auquel le béton est coulé).
Le tenseur des déformations résultantes est axisymétrique :
\[\begin{split}\strain = \begin{pmatrix}
\strainCmp_{xx}(t) & 0 & 0 \\
0 & \strainCmp_{xx}(t) & 0 \\
0 & 0 & \strainCmp_{zz}(t)
\end{pmatrix}\end{split}\]
Ses composantes, pour tout instant \(t>t_i\), sont données ci-dessous, en fonction des paramètres du modèle de BETON_AGEING (voir [R7.01.35]) :
\[\begin{split}\begin{align}
\strainCmp_{xx}(t) &= \underbrace{-\nu\frac{\stressCmp_0}{E}}_{\text{déf. élastique } \strainCmp^{e}_{xx}} + \underbrace{\frac{\stressCmp_0}{3}\left(\frac{1-\exp(-\frac{k_{s,r}}{\eta_{s,r}}(t-t_i))}{3k_{s,r}}-\frac{1-\exp(-\frac{k_{d,r}}{\eta_{d,r}}(t-t_i))}{2k_{d,r}}\right)}_{\text{déf. de fluage propre réversible } \strainCmp^{fp}_{r,xx}}
+\underbrace{\frac{\stressCmp_0}{3}\left(\frac{1}{3k_{s,i}}-\frac{1}{2k_{d,i}}\right)\ln\left(\frac{t-t_0}{t_i-t_0}\right)}_{\text{déf. de fluage propre irréversible } \strainCmp^{pf}_{i,xx}} \\
\strainCmp_{zz}(t) &= \underbrace{\frac{\stressCmp_0}{E}}_{\text{déf. élastique } \strainCmp^{e}_{zz}} + \underbrace{\frac{\stressCmp_0}{3}\left(\frac{1-\exp(-\frac{k_{s,r}}{\eta_{s,r}}(t-t_i))}{3k_{s,r}}+\frac{1-\exp(-\frac{k_{d,r}}{\eta_{d,r}}(t-t_i))}{k_{d,r}}\right)}_{\text{déf. de fluage propre réversible } \strainCmp^{fp}_{r,zz}}
+\underbrace{\frac{\stressCmp_0}{3}\left(\frac{1}{3k_{s,i}}+\frac{1}{k_{d,i}}\right)\ln\left(\frac{t-t_0}{t_i-t_0}\right)}_{\text{déf. de fluage propre irréversible } \strainCmp^{fp}_{i,zz}}
\end{align}\end{split}\]
On notera que ces déformations dépendent linéairement de la contrainte appliquée \(\stressCmp_0\) puisque le modèle BETON_AGEING est en effet viscoélastique linéaire.
2.2. Essai de fluage de dessiccation#
On présente désormais l’équation régissant le fluage de dessiccation, dans le cas d’un séchage, c’est-à-dire en augmentant de manière monotone la pression capillaire \(p_c\). Cette évolution est obtenue par (voir [R7.01.35]) :
(2.1)#\[\begin{split}\dot{\strain}^{fdess} = -\frac{\dot{h}\stress'}{k^{fd}} \quad \text{avec} \quad
\begin{cases}
d\stress' &= d\stress + \left(dp_{gz}-S_{lq}(p_c)dp_c\right)\tensTwo{B}\\
h &= \exp\left(-\cfrac{\mathcal{M}_{vp}}{RT\rho_{lq}}p_c\right)
\end{cases}\end{split}\]
Dans la situation où les contraintes totales et la pression gaz ne varient pas, et partant d’un échantillon saturé, (2.1) devient :
\[\dot{\strain}^{fdess} = -\left(\frac{\mathcal{M}_{vp}}{RT\rho_{lq}}\exp\left(-\frac{\mathcal{M}_{vp}}{RT\rho_{lq}}p_c\right)\int_0^{p_c}S_{lq}(p)dp\right)\frac{\dot{p}_c}{k^{fd}}\tensTwo{B}\]
Cette équation différentielle peut s’intégrer numériquement connaissant la relation saturation en liquide - pression capillaire, et résulte en une déformation isotrope lorsque le tenseur de Biot est isotrope également, c’est-à-dire pour \(\tensTwo{B}=b\tensTwoUnit\).