.. include:: ../../../../../_cache/math_styles.rst

Solution de reference
=====================

Essai de fluage propre
----------------------

On présente dans cette section la solution d'un essai de fluage propre en compression simple avec le modèle BETON_AGEING sur un échantillon saturé (le tenseur des contraintes effectives est alors égal au tenseur des contraintes totales). L'état de contrainte exercé à tout instant :math:`t` est écrit dans la base cartésienne :math:`(\tensTwo{e}_x,\tensTwo{e}_y,\tensTwo{e}_z)` :

.. math::

    \stress = \begin{pmatrix}
    0 & 0 & 0 \\
    0 & 0 & 0 \\
    0 & 0 & \stressCmp_{zz}(t)
    \end{pmatrix}
    \quad\text{avec}\quad
    \stressCmp_{zz}(t) = 
    \begin{cases}
    \stressCmp_0 \quad &\text{si} \quad t>t_i \\
    0 \quad &\text{si} \quad t<t_i
    \end{cases}

où :math:`t_i` désigne l'instant d'application instantanée de la charge (ce dernier étant strictement supérieur à l'instant :math:`t_0` auquel le béton est coulé). 

Le tenseur des déformations résultantes est axisymétrique :

.. math::

    \strain = \begin{pmatrix}
    \strainCmp_{xx}(t) & 0 & 0 \\
    0 & \strainCmp_{xx}(t) & 0 \\
    0 & 0 & \strainCmp_{zz}(t)
    \end{pmatrix}

Ses composantes, pour tout instant :math:`t>t_i`, sont données ci-dessous, en fonction des paramètres du modèle de BETON_AGEING (voir [:ref:`R7.01.35 <R7.01.35>`]) :

.. math::

   \begin{align}
   \strainCmp_{xx}(t) &= \underbrace{-\nu\frac{\stressCmp_0}{E}}_{\text{déf. élastique } \strainCmp^{e}_{xx}} + \underbrace{\frac{\stressCmp_0}{3}\left(\frac{1-\exp(-\frac{k_{s,r}}{\eta_{s,r}}(t-t_i))}{3k_{s,r}}-\frac{1-\exp(-\frac{k_{d,r}}{\eta_{d,r}}(t-t_i))}{2k_{d,r}}\right)}_{\text{déf. de fluage propre réversible } \strainCmp^{fp}_{r,xx}}
   +\underbrace{\frac{\stressCmp_0}{3}\left(\frac{1}{3k_{s,i}}-\frac{1}{2k_{d,i}}\right)\ln\left(\frac{t-t_0}{t_i-t_0}\right)}_{\text{déf. de fluage propre irréversible } \strainCmp^{pf}_{i,xx}} \\
   \strainCmp_{zz}(t) &= \underbrace{\frac{\stressCmp_0}{E}}_{\text{déf. élastique } \strainCmp^{e}_{zz}} + \underbrace{\frac{\stressCmp_0}{3}\left(\frac{1-\exp(-\frac{k_{s,r}}{\eta_{s,r}}(t-t_i))}{3k_{s,r}}+\frac{1-\exp(-\frac{k_{d,r}}{\eta_{d,r}}(t-t_i))}{k_{d,r}}\right)}_{\text{déf. de fluage propre réversible } \strainCmp^{fp}_{r,zz}}
   +\underbrace{\frac{\stressCmp_0}{3}\left(\frac{1}{3k_{s,i}}+\frac{1}{k_{d,i}}\right)\ln\left(\frac{t-t_0}{t_i-t_0}\right)}_{\text{déf. de fluage propre irréversible } \strainCmp^{fp}_{i,zz}}
   \end{align}

On notera que ces déformations dépendent linéairement de la contrainte appliquée :math:`\stressCmp_0` puisque le modèle BETON_AGEING est en effet viscoélastique linéaire.

Essai de fluage de dessiccation
-------------------------------

On présente désormais l'équation régissant le fluage de dessiccation, dans le cas d'un séchage, c'est-à-dire en augmentant de manière monotone la pression capillaire :math:`p_c`. Cette évolution est obtenue par (voir [:ref:`R7.01.35 <R7.01.35>`]) :

.. math::
    :label: eq-dessiccation_creep

    \dot{\strain}^{fdess} = -\frac{\dot{h}\stress'}{k^{fd}} \quad \text{avec} \quad
    \begin{cases} 
    d\stress' &= d\stress + \left(dp_{gz}-S_{lq}(p_c)dp_c\right)\tensTwo{B}\\
    h &= \exp\left(-\cfrac{\mathcal{M}_{vp}}{RT\rho_{lq}}p_c\right)
    \end{cases}

Dans la situation où les contraintes totales et la pression gaz ne varient pas, et partant d'un échantillon saturé, :eq:`eq-dessiccation_creep` devient :

.. math::

    \dot{\strain}^{fdess} = -\left(\frac{\mathcal{M}_{vp}}{RT\rho_{lq}}\exp\left(-\frac{\mathcal{M}_{vp}}{RT\rho_{lq}}p_c\right)\int_0^{p_c}S_{lq}(p)dp\right)\frac{\dot{p}_c}{k^{fd}}\tensTwo{B}

Cette équation différentielle peut s'intégrer numériquement connaissant la relation saturation en liquide - pression capillaire, et résulte en une déformation isotrope lorsque le tenseur de Biot est isotrope également, c'est-à-dire pour :math:`\tensTwo{B}=b\tensTwoUnit`.