30. Annexe#
30.1. Présentation#
Le problème étudié est tel que la solution soit uniforme en espace, sans aucun effort extérieur donné, de manière à ne tester que le traitement de la relation de comportement.
On considère ainsi le solide suivant:
hauteur \(H\) ,
axisymétrique (de rayons \(a\) et \(b\) ),
ou parallélépipédique (épaisseur \(b-a\) ).
Il est placé entre deux plateaux rigides lubrifiés.
Le matériau est thermoélastoplastique homogène (voir ci-après) à écrouissage isotrope et critère de Von Mises.
On suppose la température uniforme en espace, et croissante.
30.2. Cinématique, équilibre#
30.2.1. Cas axisymétrique (2D)#
Champs de déplacement: \(u={u}_{r}(r){e}_{r}\) (blocage en \(z\) )
champs de déformation : \(\varepsilon (u)=(\begin{array}{ccc}{u}_{r}'& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& \frac{{u}_{r}}{r}\end{array})\) ( selon \((\begin{array}{c}r\\ z\\ \theta \end{array})\) )
champs de déformation : \(\sigma (u)={\sigma}_{L}(\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 0\end{array})\) (cf. conditions aux limites) ( selon \((\begin{array}{c}r\\ z\\ \theta \end{array})\) )
30.2.2. Cas parallélépipédique#
Champs de déplacement: \(u={u}_{x}(x){e}_{x}+{u}_{y}(y){e}_{y}\) (blocage en \(z\) )
champs de déformation : \(\varepsilon (u)=(\begin{array}{ccc}{u}_{x}'& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& {u}_{y}'\end{array})\) ( selon \((\begin{array}{c}x\\ z\\ y\end{array})\) )
champs de déformation : \(\sigma (u)={\sigma}_{L}(\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 0\end{array})\) (cf. conditions aux limites) ( selon \((\begin{array}{c}x\\ z\\ y\end{array})\) )
Le cas pourra être étudié en D_PLAN et en 3D.
30.3. Relation de comportement#
Écrouissage isotrope, linéaire (module tangent \({E}_{T}\) constant).
Critère de VonMises.
Les coefficients élastiques, \(E\) et \(\nu\) , ainsi que le module tangent \({E}_{T}\) sont invariants suivant la température.
La limite d’élasticité \({\sigma}_{y}\) varie selon la température \(T\) :
\({\sigma}_{y}(T)={\sigma}_{y}^{o}(1-s(T-{T}^{o}))\)
(pour le domaine de température étudié, \({\sigma}_{y}\) est positif!).
Le coefficient de dilatation thermique \(\alpha\) est constant.
\(2\mu =\frac{E}{1+\nu }\) \(\mathrm{3K}=\frac{E}{1-2\nu }\)
La loi de comportement s’écrit (variable interne scalaire \(P\) ):
\(\varepsilon =\frac{1}{\mathrm{9K}}\mathrm{tr}\sigma \mathrm{Id}+\frac{1}{2\mu }{\sigma}^{D}+{\varepsilon}^{p}=\alpha (T-{T}^{o})\mathrm{Id}\)
avec : \({\sigma}^{D}=\sigma –\frac{1}{3}\mathrm{tr}\sigma \mathrm{Id}\) (déviateur des contraintes)
\(\dot{{\sigma}^{p}}=\frac{3}{2}\dot{p}\frac{{\sigma}^{D}}{∥{\sigma}_{\mathrm{éq}}∥}\) , avec \(\sqrt{\frac{3}{2}}\sqrt{{\sigma}^{D}{\sigma}^{D}}\)
\(\dot{p}=0\) si \(f(\sigma ,p)=∥{\sigma}_{\mathrm{éq}}∥–R(p)<0\)
\(\dot{p}\ge 0\) si \(f(\sigma ,p)=0\)
\(R(p)\) désigne la fonction d’écrouissage:
\(R(p)={\sigma}_{y}+\frac{{\mathrm{EE}}_{T}}{E–{E}_{T}}p\)
Le taux \(\dot{p}\) peut être exprimé, lorsque \(f(\sigma ,p)=0\) . En effet, de \(\dot{p}f\) identiquement nul, on tire: \(\dot{p}\dot{f}+\ddot{p}f=0\) . Ainsi, quand on est sur le critère \(f=0\) , nécessairement \(\dot{f}=0\) . C’est‑à-dire:
\(\frac{3}{2}\frac{{\sigma}^{D}\dot{{\sigma}^{D}}}{∥{\sigma}_{\mathrm{éq}}∥}-{R}_{,T}\dot{T}–{R}_{,p}\dot{p}=0\)
\(\iff \frac{3}{2}\frac{{\sigma}^{D}\dot{{\sigma}^{D}}}{∥{\sigma}_{\mathrm{éq}}∥}-{\sigma}_{y}^{o}s\dot{T}-\frac{{\mathrm{EE}}_{T}}{E-{E}_{T}}\dot{p}=0\)
D’où:
\(\dot{p}=\frac{E-{E}_{T}}{{\mathrm{EE}}_{T}}(\frac{3}{2}\frac{{\sigma}^{D}\dot{{\sigma}^{D}}}{∥{\sigma}_{\mathrm{éq}}∥}+{\sigma}_{y}^{o}s\dot{T})\) si \(\dot{p}\ge 0\) , pour \(∥{\sigma}_{\mathrm{éq}}∥=R(p)\)
(critère atteint, en «charge»)
30.4. Chargement thermique#
Température uniforme en espace
\(T(t)=\theta t+{T}_{o},\theta >0\)
\(t\in [0,{t}_{\mathrm{fin}}]\) avec \({t}_{\mathrm{fin}}<\frac{1}{s\theta }\)
État initial vierge: \(\begin{array}{}{\sigma}_{L}=0\\ p=0\end{array}\)
30.5. Solution#
Le champ de contraintes étant uni-axial, on a:
\({\sigma}^{D}=\frac{{\sigma}_{L}}{3}(\begin{array}{ccc}-1& 0& 0\\ 0& 2& 0\\ 0& 0& -1\end{array})\)
Ainsi:
\(∥{\sigma}_{\mathrm{éq}}∥=∣{\sigma}_{L}∣\)
et:
\(\dot{{\varepsilon}^{p}}=\frac{\dot{p}}{2}\mathrm{sgn}({\sigma}_{L})(\begin{array}{ccc}-1& 0& 0\\ 0& 2& 0\\ 0& 0& -1\end{array})\)
La relation de comportement conduit à
\(\dot{{\varepsilon}_{\mathrm{rr}}}=\dot{{\varepsilon}_{\theta \theta }}=\frac{-\nu }{E}\dot{{\sigma}_{L}}-\frac{\dot{p}}{2}\mathrm{sgn}({\sigma}_{L})+\alpha \dot{T}\) (\(\dot{{\varepsilon}_{xx}}=\dot{{\varepsilon}_{yy}}\) pour le cas du parallélépipède)
\(\dot{{\varepsilon}_{zz}}=0=\frac{1}{E}\dot{{\sigma}_{L}}+\dot{p}\mathrm{sgn}({\sigma}_{L})+\alpha \dot{T}\)
D’où:
\(\dot{{\varepsilon}_{\mathrm{rr}}}=\dot{{\varepsilon}_{\theta \theta }}=\frac{3}{2}\alpha \dot{T}+\frac{1-2\nu }{2E}\dot{{\sigma}_{L}}\)
\(\dot{p}=\mathrm{sgn}({\sigma}_{L})(-\alpha \dot{T}–\frac{\dot{{\sigma}_{L}}}{E})=0\) si \(∣{\sigma}_{L}∣<R(p)\)
\(\dot{p}=\mathrm{Max}[0;\frac{E-{E}_{T}}{{\mathrm{EE}}_{T}}(\frac{3}{2}\frac{{\sigma}^{D}{\sigma}^{D}}{∥{\sigma}_{\mathrm{éq}}∥}+{\sigma}_{y}^{o}s\dot{T})]\) sinon
C’est-à-dire, dans le cas \(∣{\sigma}_{L}∣=R(p)\) (critère atteint)
\(\dot{p}=\mathrm{Max}[0;\frac{E-{E}_{T}}{{\mathrm{EE}}_{T}}(\mathrm{sgn}({\sigma}_{L})\dot{{\sigma}_{L}}+{\sigma}_{y}^{o}s\dot{T})]\)
30.5.1. Phase élastique#
Au début du chargement thermique, \(∣{\sigma}_{L}∣\) étant inférieur à \({\sigma}_{y}\) , \(\dot{p}\) est nul.
D’où:
\(\dot{{\sigma}_{L}}=-E\alpha \dot{T}\)
\(\dot{{\varepsilon}_{\mathrm{rr}}}=\dot{{\varepsilon}_{\theta \theta }}=\alpha \dot{T}(1+\nu )\)
Ainsi:
\({\sigma}_{L}=-E\alpha \theta t\) (compression \({\sigma}_{L}<0\) )
\({\varepsilon}_{\mathrm{rr}}={\varepsilon}_{\theta \theta }=\alpha \theta (1+\nu )t\)
Validité de la solution élastique
Le critère est:
\(∣{\sigma}_{L}(t)∣-{\sigma}_{y}(t)=E=\theta t-{\sigma}_{y}^{o}(1-s\theta t)\le 0\)
Le critère n’est pas franchi pour \(t=[0,{t}_{y}]\) , avec:
\({t}_{y}=\frac{{\sigma}_{y}^{o}}{\theta (E\alpha +{\sigma}_{y}^{o}s)}\)
A l’instant \({t}_{y}\) :
\({\sigma}_{L}({t}_{y})=\frac{-E\alpha {\sigma}_{y}^{o}}{E\alpha +{\sigma}_{L}^{o}s}\)
30.5.2. Phase élastoplastique#
\(t\ge {t}_{y}\) . On est sur le critère. Alors:
\(\dot{p}=\mathrm{Max}[0;\frac{E-{E}_{T}}{{\mathrm{EE}}_{T}}(\dot{{\sigma}_{L}}\mathrm{sgn}({\sigma}_{L})+{\sigma}_{y}^{o}s\dot{T})]\)
En admettant que l’on soit « en charge » \((\dot{p}>0)\) , alors on élimine \(\dot{p}\) pour avoir
\(\dot{{\sigma}_{L}}=-{E}_{T}\dot{T}(\alpha +\mathrm{sgn}({\sigma}_{L})\frac{E-{E}_{T}}{{\mathrm{EE}}_{T}}s{\sigma}_{y}^{o})\)
puis:
\(\dot{p}=\frac{E-{E}_{T}}{E}\dot{T}(-\alpha \mathrm{sgn}({\sigma}_{L})+\frac{s{\sigma}_{y}^{o}}{E})\)
à \(t={t}_{y}\) , \({\sigma}_{L}=-E\alpha \theta {t}_{y}<0\) ; on intègre alors ces expressions pour \(t\ge {t}_{y}(\dot{T}=\theta )\) :
\({\sigma}_{L}(t)=-{E}_{T}\theta (t-{t}_{y})[\alpha –\frac{E-{E}_{T}}{{\mathrm{EE}}_{T}}s{\sigma}_{y}^{o}]-{\sigma}_{L}({t}_{y})\)
\(p(t)=\frac{E-{E}_{T}}{{E}^{2}}\theta [\alpha E+s{\sigma}_{y}^{o}](t-{t}_{y})\)
Soit, après réarrangement, \((t>{\mathrm{0t}}_{y})\) :
\({\sigma}_{L}(t)={\sigma}_{y}^{o}(s\theta t-1+\frac{{E}_{T}}{E}(1-\frac{t}{{t}_{y}}))\)
\(p(t)=\frac{{\sigma}_{y}^{o}(E-{E}_{T})}{{E}^{2}}(\frac{t}{{t}_{y}}–1)\)
Validité de cette solution élastoplastique
Il faut s’assurer que \({\sigma}_{L}(t)\) reste négatif. Sachant que \(s\theta t<1\) , et que \(t>{t}_{y}\) , le résultat précédent confirme que \({\sigma}_{L}(t)<0\) .
Enfin, on remarque que:
\(\mathrm{sgn}({\sigma}_{L})\frac{1-2\nu }{2}\dot{p}+\dot{{\varepsilon}_{\mathrm{rr}}}=\alpha (1+\nu )\dot{T}\)
d’où:
\({\varepsilon}_{\mathrm{rr}}(t)={\varepsilon}_{\theta \theta }(t)=\alpha \theta (1+\nu )t+\frac{1-2\nu }{2}p(t),\forall t\in [{t}_{y},{t}_{\mathrm{fin}}]\)
(puisque \({\sigma}_{L}(t)<0\) ).
30.6. Application numérique#
\(E=200000\mathrm{MPa}\) ; \(\nu =0.3\) ; \(\alpha =10.0E-5°{C}^{-1}\) ; \(\theta =1.0{s}^{-1}\)
\({\sigma}_{y}^{o}=400\mathrm{MPa}\) ; \({T}^{o}=0°C\) ; \(s=10.0E-2°{C}^{-1}\) ; \({t}_{\mathrm{fin}}<100s\)
\({E}_{T}=50000\mathrm{MPa}\) ;
D’oùon obtient en phase élastique :
\({t}_{y}=66.6666s\)
\({\sigma}_{L}({t}_{y})=-133.333\mathrm{MPa}\)
\({\varepsilon}_{\mathrm{rr}}({t}_{y})={\varepsilon}_{\theta \theta }({t}_{y})=0.866666E-3\)
Puis, phase élastoplastique:
à \(t=\mathrm{80s}\) : \({\sigma}_{L}(80)=-100\mathrm{MPa}\)
\(p(80)=0.30E-3\)
\({\varepsilon}_{\mathrm{rr}}(80)={\varepsilon}_{\theta \theta }(80)=1.100E-3\)
à \(t=\mathrm{90s}\) : \({\sigma}_{L}(90)=-75\mathrm{MPa}\)
\(p(90)=0.525E-3\)
\({\varepsilon}_{\mathrm{rr}}(90)={\varepsilon}_{\theta \theta }(90)=1.275E-3\)