1. Problème de référence#

1.1. Géométrie#

Cylindre axisymétrique (modélisations \(A\) et \(E\) ) ou plaque rectangulaire (modélisation \(B\) ) ou tuyau droit (modélisations \(C\) et \(D\) ), ou poutre (modélisation \(F\) ), ou parallélépipède \(\mathrm{3D}\)

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(modélisations \(G\) , \(H\) et \(J\) ).

Géométrie du cylindre \((\mathrm{mm})\) :

  • \(a=1\)

  • \(b=2\)

  • \(H=4\)

1.2. Propriété des matériaux#

Pour toutes les modélisations :

Module d’Young : \(E=200000\mathrm{MPa}\)

Module tangent : \({E}_{t}=50000\mathrm{MPa}\)

Coefficient de Poisson : \(\nu =0.3\)

\({\sigma}_{0}=400\mathrm{MPa}\)

\(s=1.0{E}^{-2}°{C}^{-1}\)

Coefficient de dilatation thermique : \(\alpha =1.0{E}^{-5}°{C}^{-1}\)

Chaleur volumique : \({C}^{p}=0{\mathrm{J.mm}}^{-3}.°{C}^{-1}\)

Conductivité thermique : \(\lambda =1.0{E}^{-3}{\mathrm{W.mm}}^{-1}.°{C}^{-1}\)

Pour le matériau isotrope déclaré orthotrope, il vient:

E_L= E_T= E_N= \(E\)

Nu_LT = Nu_LN= Nu_TN= \(\nu\)

G_LT= G_LN= G_TN= \(75000\mathrm{MPa}\)

ALPHA_L= ALPHA_T= ALPHA_N= \(\alpha\)

Pour les modélisations de \(A\) à \(G\) :

\({\sigma}_{y}(T)={\sigma}_{0}(1-\mathrm{s.}(T-{T}_{0}))\)

Pour les modélisation \(H\) et \(I\) :

\({\sigma}_{y}(T)={\sigma}_{0}\) \((s=0)\)

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Figure : Courbe de traction du matériau

1.3. Conditions aux limites et chargements#

  • Modélisations \(A\) , \(E\) et \(K\) : \(\mathrm{uz}=0\) sur les côtés \(\mathrm{AB}\) et \(\mathrm{CD}\) ( Axe \(\mathrm{Oz}\) fixe)

  • Modélisations \(B\) et \(I\) : \(\mathrm{uy}=0\) sur les côtés \(\mathrm{AB}\) et \(\mathrm{CD}\) , \(\mathrm{ux}=0\) en \(A\)

  • Modélisations \(C,D\) et \(F\) : encastrement en \(A\) , \(\mathrm{Uy}=0\) en \(C\)

  • Modélisations \(G\) , \(H\) , \(L\) et \(M\) : \(\mathrm{uy}=0\) sur les côtés \(\mathrm{AB}\) et \(\mathrm{CD}\) , \(\mathrm{ux}=\mathrm{uz}=0\) ( nœud \(\mathrm{N3}\) ), \(\mathrm{uz}=0\) ( nœud \(\mathrm{N4}\) )

  • \(T(t)=\gamma t+\mathrm{T0}\) avec: \(\gamma =1°C/s\) et \(\mathrm{T0}=0°C\) .

  • Modélisations \(H\) et \(I\) : Champs de déformations initiales: \(\varepsilon =\alpha (T-{T}_{0})\mathrm{Id}\)

  • Modélisation \(J\) : Champ de déformations imposées : \({\varepsilon}_{yy}=0\)