Annexe ====== Présentation ------------ Le problème étudié est tel que la solution soit uniforme en espace, sans aucun effort extérieur donné, de manière à ne tester que le traitement de la relation de comportement. On considère ainsi le solide suivant: * hauteur :math:`H` , * axisymétrique (de rayons :math:`a` et :math:`b` ), * ou parallélépipédique (épaisseur :math:`b-a` ). .. image:: images/10000D5600001A7500001A0CF20412214A7E59F2.svg :width: 341 :height: 336 .. _RefImage_10000D5600001A7500001A0CF20412214A7E59F2.svg: Il est placé entre deux plateaux rigides lubrifiés. Le matériau est thermoélastoplastique homogène (voir ci-après) à écrouissage isotrope et critère de Von Mises. On suppose la température uniforme en espace, et croissante. Cinématique, équilibre ---------------------- Cas axisymétrique (2D) ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ Champs de déplacement: :math:`u={u}_{r}(r){e}_{r}` (blocage en :math:`z` ) champs de déformation : :math:`\varepsilon (u)=(\begin{array}{ccc}{u}_{r}'& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& \frac{{u}_{r}}{r}\end{array})` ( selon :math:`(\begin{array}{c}r\\ z\\ \theta \end{array})` ) champs de déformation : :math:`\sigma (u)={\sigma}_{L}(\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 0\end{array})` (cf. conditions aux limites) ( selon :math:`(\begin{array}{c}r\\ z\\ \theta \end{array})` ) Cas parallélépipédique ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ Champs de déplacement: :math:`u={u}_{x}(x){e}_{x}+{u}_{y}(y){e}_{y}` (blocage en :math:`z` ) champs de déformation : :math:`\varepsilon (u)=(\begin{array}{ccc}{u}_{x}'& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& {u}_{y}'\end{array})` ( selon :math:`(\begin{array}{c}x\\ z\\ y\end{array})` ) champs de déformation : :math:`\sigma (u)={\sigma}_{L}(\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 0\end{array})` (cf. conditions aux limites) ( selon :math:`(\begin{array}{c}x\\ z\\ y\end{array})` ) Le cas pourra être étudié en D_PLAN et en 3D. Relation de comportement ------------------------ Écrouissage isotrope, linéaire (module tangent :math:`{E}_{T}` constant). Critère de VonMises. Les coefficients élastiques, :math:`E` et :math:`\nu` , ainsi que le module tangent :math:`{E}_{T}` sont invariants suivant la température. La limite d'élasticité :math:`{\sigma}_{y}` varie selon la température :math:`T` : :math:`{\sigma}_{y}(T)={\sigma}_{y}^{o}(1-s(T-{T}^{o}))` (pour le domaine de température étudié, :math:`{\sigma}_{y}` est positif!). Le coefficient de dilatation thermique :math:`\alpha` est constant. .. image:: images/10000A480000219700000F31F251CA7A2668C701.svg :width: 341 :height: 336 .. _RefImage_10000A480000219700000F31F251CA7A2668C701.svg: :math:`2\mu =\frac{E}{1+\nu }` :math:`\mathrm{3K}=\frac{E}{1-2\nu }` **La loi de comportement** s'écrit (variable interne scalaire :math:`P` ): :math:`\varepsilon =\frac{1}{\mathrm{9K}}\mathrm{tr}\sigma \mathrm{Id}+\frac{1}{2\mu }{\sigma}^{D}+{\varepsilon}^{p}=\alpha (T-{T}^{o})\mathrm{Id}` avec : :math:`{\sigma}^{D}=\sigma –\frac{1}{3}\mathrm{tr}\sigma \mathrm{Id}` (déviateur des contraintes) :math:`\dot{{\sigma}^{p}}=\frac{3}{2}\dot{p}\frac{{\sigma}^{D}}{∥{\sigma}_{\mathrm{éq}}∥}` , avec :math:`\sqrt{\frac{3}{2}}\sqrt{{\sigma}^{D}{\sigma}^{D}}` :math:`\dot{p}=0` si :math:`f(\sigma ,p)=∥{\sigma}_{\mathrm{éq}}∥–R(p)<0` :math:`\dot{p}\ge 0` si :math:`f(\sigma ,p)=0` :math:`R(p)` désigne la fonction d'écrouissage: :math:`R(p)={\sigma}_{y}+\frac{{\mathrm{EE}}_{T}}{E–{E}_{T}}p` Le taux :math:`\dot{p}` peut être exprimé, lorsque :math:`f(\sigma ,p)=0` . En effet, de :math:`\dot{p}f` identiquement nul, on tire: :math:`\dot{p}\dot{f}+\ddot{p}f=0` . Ainsi, quand on est sur le critère :math:`f=0` , nécessairement :math:`\dot{f}=0` . C'est‑à-dire: :math:`\frac{3}{2}\frac{{\sigma}^{D}\dot{{\sigma}^{D}}}{∥{\sigma}_{\mathrm{éq}}∥}-{R}_{,T}\dot{T}–{R}_{,p}\dot{p}=0` :math:`\iff \frac{3}{2}\frac{{\sigma}^{D}\dot{{\sigma}^{D}}}{∥{\sigma}_{\mathrm{éq}}∥}-{\sigma}_{y}^{o}s\dot{T}-\frac{{\mathrm{EE}}_{T}}{E-{E}_{T}}\dot{p}=0` D'où: :math:`\dot{p}=\frac{E-{E}_{T}}{{\mathrm{EE}}_{T}}(\frac{3}{2}\frac{{\sigma}^{D}\dot{{\sigma}^{D}}}{∥{\sigma}_{\mathrm{éq}}∥}+{\sigma}_{y}^{o}s\dot{T})` si :math:`\dot{p}\ge 0` , pour :math:`∥{\sigma}_{\mathrm{éq}}∥=R(p)` (critère atteint, en «charge») Chargement thermique -------------------- Température uniforme en espace .. image:: images/Object_384.svg :width: 341 :height: 336 .. _RefImage_Object_384.svg: :math:`T(t)=\theta t+{T}_{o},\theta >0` :math:`t\in [0,{t}_{\mathrm{fin}}]` avec :math:`{t}_{\mathrm{fin}}<\frac{1}{s\theta }` .. image:: images/100003EA0000103A00000E781DB0E0CDDE7EB136.svg :width: 341 :height: 336 .. _RefImage_100003EA0000103A00000E781DB0E0CDDE7EB136.svg: État initial vierge: :math:`\begin{array}{}{\sigma}_{L}=0\\ p=0\end{array}` Solution -------- Le champ de contraintes étant uni-axial, on a: :math:`{\sigma}^{D}=\frac{{\sigma}_{L}}{3}(\begin{array}{ccc}-1& 0& 0\\ 0& 2& 0\\ 0& 0& -1\end{array})` Ainsi: :math:`∥{\sigma}_{\mathrm{éq}}∥=∣{\sigma}_{L}∣` et: :math:`\dot{{\varepsilon}^{p}}=\frac{\dot{p}}{2}\mathrm{sgn}({\sigma}_{L})(\begin{array}{ccc}-1& 0& 0\\ 0& 2& 0\\ 0& 0& -1\end{array})` La relation de comportement conduit à :math:`\dot{{\varepsilon}_{\mathrm{rr}}}=\dot{{\varepsilon}_{\theta \theta }}=\frac{-\nu }{E}\dot{{\sigma}_{L}}-\frac{\dot{p}}{2}\mathrm{sgn}({\sigma}_{L})+\alpha \dot{T}` (:math:`\dot{{\varepsilon}_{xx}}=\dot{{\varepsilon}_{yy}}` pour le cas du parallélépipède) :math:`\dot{{\varepsilon}_{zz}}=0=\frac{1}{E}\dot{{\sigma}_{L}}+\dot{p}\mathrm{sgn}({\sigma}_{L})+\alpha \dot{T}` D'où: :math:`\dot{{\varepsilon}_{\mathrm{rr}}}=\dot{{\varepsilon}_{\theta \theta }}=\frac{3}{2}\alpha \dot{T}+\frac{1-2\nu }{2E}\dot{{\sigma}_{L}}` :math:`\dot{p}=\mathrm{sgn}({\sigma}_{L})(-\alpha \dot{T}–\frac{\dot{{\sigma}_{L}}}{E})=0` si :math:`∣{\sigma}_{L}∣0)` , alors on élimine :math:`\dot{p}` pour avoir :math:`\dot{{\sigma}_{L}}=-{E}_{T}\dot{T}(\alpha +\mathrm{sgn}({\sigma}_{L})\frac{E-{E}_{T}}{{\mathrm{EE}}_{T}}s{\sigma}_{y}^{o})` puis: :math:`\dot{p}=\frac{E-{E}_{T}}{E}\dot{T}(-\alpha \mathrm{sgn}({\sigma}_{L})+\frac{s{\sigma}_{y}^{o}}{E})` à :math:`t={t}_{y}` , :math:`{\sigma}_{L}=-E\alpha \theta {t}_{y}<0` ; on intègre alors ces expressions pour :math:`t\ge {t}_{y}(\dot{T}=\theta )` : :math:`{\sigma}_{L}(t)=-{E}_{T}\theta (t-{t}_{y})[\alpha –\frac{E-{E}_{T}}{{\mathrm{EE}}_{T}}s{\sigma}_{y}^{o}]-{\sigma}_{L}({t}_{y})` :math:`p(t)=\frac{E-{E}_{T}}{{E}^{2}}\theta [\alpha E+s{\sigma}_{y}^{o}](t-{t}_{y})` Soit, après réarrangement, :math:`(t>{\mathrm{0t}}_{y})` : :math:`{\sigma}_{L}(t)={\sigma}_{y}^{o}(s\theta t-1+\frac{{E}_{T}}{E}(1-\frac{t}{{t}_{y}}))` :math:`p(t)=\frac{{\sigma}_{y}^{o}(E-{E}_{T})}{{E}^{2}}(\frac{t}{{t}_{y}}–1)` **Validité de cette solution élastoplastique** Il faut s'assurer que :math:`{\sigma}_{L}(t)` reste négatif. Sachant que :math:`s\theta t<1` , et que :math:`t>{t}_{y}` , le résultat précédent confirme que :math:`{\sigma}_{L}(t)<0` . Enfin, on remarque que: :math:`\mathrm{sgn}({\sigma}_{L})\frac{1-2\nu }{2}\dot{p}+\dot{{\varepsilon}_{\mathrm{rr}}}=\alpha (1+\nu )\dot{T}` d'où: :math:`{\varepsilon}_{\mathrm{rr}}(t)={\varepsilon}_{\theta \theta }(t)=\alpha \theta (1+\nu )t+\frac{1-2\nu }{2}p(t),\forall t\in [{t}_{y},{t}_{\mathrm{fin}}]` (puisque :math:`{\sigma}_{L}(t)<0` ). Application numérique --------------------- :math:`E=200000\mathrm{MPa}` ; :math:`\nu =0.3` ; :math:`\alpha =10.0E-5°{C}^{-1}` ; :math:`\theta =1.0{s}^{-1}` :math:`{\sigma}_{y}^{o}=400\mathrm{MPa}` ; :math:`{T}^{o}=0°C` ; :math:`s=10.0E-2°{C}^{-1}` ; :math:`{t}_{\mathrm{fin}}<100s` :math:`{E}_{T}=50000\mathrm{MPa}` ; D'oùon obtient en phase élastique : :math:`{t}_{y}=66.6666s` :math:`{\sigma}_{L}({t}_{y})=-133.333\mathrm{MPa}` :math:`{\varepsilon}_{\mathrm{rr}}({t}_{y})={\varepsilon}_{\theta \theta }({t}_{y})=0.866666E-3` Puis, phase élastoplastique: à :math:`t=\mathrm{80s}` : :math:`{\sigma}_{L}(80)=-100\mathrm{MPa}` :math:`p(80)=0.30E-3` :math:`{\varepsilon}_{\mathrm{rr}}(80)={\varepsilon}_{\theta \theta }(80)=1.100E-3` à :math:`t=\mathrm{90s}` : :math:`{\sigma}_{L}(90)=-75\mathrm{MPa}` :math:`p(90)=0.525E-3` :math:`{\varepsilon}_{\mathrm{rr}}(90)={\varepsilon}_{\theta \theta }(90)=1.275E-3`