2. Solution de référence#
Soit \(\Omega =[-5,+5]\times [-5,+5]\) le domaine occupé par le solide, dans le plan \((X,Y)\) . Le domaine \(\Omega ` est partitionné en :math:\)Omega ={Omega}_{1}cup {Omega}_{2}cup {Omega}_{3}cup {Omega}_{4.}` , où on a posé:
\(\begin{array}{c}{\Omega}_{1}=\left[-5,0\right[\times \left]0,+5\right],\\ {\Omega}_{2}=\left[-5,0\right[\times \left[-5,0\right[,\\ {\Omega}_{3}=\left]0,+5\right]\times \left]0,+5\right],\\ {\Omega}_{4}=\left]0,+5\right]\times \left[-5,0\right[.\end{array}\)
2.1. Cas sans contact#
Sans contact, chaque zone doit subir un mouvement de corps rigide correspondant à la condition limite imposée sur son bord (droit ou gauche).
L’énergie de la structure est donc:
\({E}^{e}=0.\)
Le champ de déplacement solution analytique est:
\(u={u}_{x}(x,y){e}_{x},\)
avec:
\({u}_{x}(x,y)=\lbrace \begin{array}{c}-\frac{1}{4}\text{pour}(x,y)\in \left[-5,0\right[\times \left]0,+5\right[,\\ -\frac{1}{2}\text{pour}(x,y)\in \left[-5,0\right[\times \left[-5,0\right[,\\ +\frac{3}{4}\text{pour}(x,y)\in \left]0,+5\right]\times \left]0,+5\right],\\ +1\text{pour}(x,y)\in \left]0,+5\right]\times \left[-5,0\right[,\end{array}\)
La norme \({L}^{2}\) du déplacement est définie par:
\({\Vert u\Vert }_{{L}^{2}}^{2}={\int}_{\Omega}{\Vert u\Vert }^{2}d\Omega .\)
On a donc:
\({\Vert u\Vert }_{{L}^{2}}^{2}=25\left(\frac{1}{16}+\frac{1}{4}+\frac{9}{16}+1\right)=25\frac{15}{8}.\)
Soit:
\({\parallel u\parallel }_{{L}^{2}}=\frac{5}{2}\sqrt{\frac{15}{2}}\approx 6,84653196881{\text{m}}^{2}.\)
Ce résultat est valable dans le cas des contraintes planes et des déformations planes. Dans le cas 3D, l’épaisseur choisie est 1 m. L’expression de la norme \({L}^{2}\) du déplacement est identique, mais les unités sont modifiées.
On a alors:
\({\parallel u\parallel }_{{L}^{2}}=\frac{5}{2}\sqrt{\frac{15}{2}}\approx 6,84653196881{\text{m}}^{\frac{5}{2}}.\)
2.2. Cas avec contact#
Soit:
\({p}_{x}(y)=\lbrace \begin{array}{c}1\text{MPa pour}y\in \left[-5,0\right[\\ 2\text{MPa pour}y\in \left]0,+5\right]\end{array}\text{et}{p}_{y}(x)=\lbrace \begin{array}{c}1\text{MPa pour}x\in \left[-5,0\right[\\ 2\text{MPa pour}x\in \left]0,+5\right]\end{array}.\)
On a donc par définition:
\(\begin{array}{c}{p}_{x}(y)=2\text{et}{p}_{y}(x)=1\text{, dans}{\Omega}_{1,}\\ {p}_{x}(y)=1\text{et}{p}_{y}(x)=1\text{, dans}{\Omega}_{2,}\\ {p}_{x}(y)=2\text{et}{p}_{y}(x)=2\text{, dans}{\Omega}_{3,}\\ {p}_{x}(y)=1\text{et}{p}_{y}(x)=2\text{, dans}{\Omega}_{4.}\end{array}\) éq 2.2-1
2.2.1. Cas des déformations planes#
Le tenseur des contraintes solution analytique est:
\(\sigma =-{p}_{x}(y){e}_{x}\otimes {e}_{x}-{p}_{y}(x){e}_{y}\otimes {e}_{y}-\nu ({p}_{x}(y)+{p}_{y}(x)){e}_{z}\otimes {e}_{z}\)
On a:
\(\mathit{tr}(\sigma )=-(1+\nu )({p}_{x}(y)+{p}_{y}(x)).\)
Le tenseur des déformations est obtenu en appliquant la loi de Hooke:
\(\epsilon =\frac{1+\nu }{E}\sigma -\frac{\nu}{E}\mathit{tr}(\sigma )I,\)
où \(I\) est le tenseur identité.
On a donc:
\(\begin{array}{c}\epsilon =-\left(\frac{(1+\nu )(1-\nu ){p}_{x}(y)}{E}-\frac{\nu (1+\nu ){p}_{y}(x)}{E}\right){e}_{x}\otimes {e}_{x}\\ -\left(\frac{(1+\nu )(1-\nu ){p}_{y}(x)}{E}-\frac{\nu (1+\nu ){p}_{x}(y)}{E}\right){e}_{y}\otimes {e}_{y}\end{array}\)
On a donc:
\(\sigma :\epsilon =\frac{(1+\nu )(1-\nu )}{E}{\left({p}_{x}(y)\right)}^{2}-2\frac{\nu (1+\nu )}{E}{p}_{x}(y){p}_{y}(x)+\frac{(1+\nu )(1-\nu )}{E}{\left({p}_{y}(x)\right)}^{2}.\)
D’où:
:math:`{E}^{e}=frac{1}{2}frac{1+nu }{E}{int}_{Omega}left[(1-nu ){left({p}_{x}(y)right)}^{2}-2nu {p}_{x}(y){p}_{y}(x)+(1-nu ){left({p}_{y}(x)right)}^{2}right]dOmega `
On a donc d’après l’équation 2.2-1:
\(\begin{array}{c}{E}^{e}=\frac{1}{2}\frac{1+\nu }{E}[{\int}_{{\Omega}_{1}}\left[4(1-\nu )-4\nu +(1-\nu )\right]d\Omega +{\int}_{{\Omega}_{2}}\left[(1-\nu )-2\nu +(1-\nu )\right]d\Omega \\ +{\int}_{{\Omega}_{3}}\left[4(1-\nu )-8\nu +4(1-\nu )\right]d\Omega +{\int}_{{\Omega}_{4}}\left[(1-\nu )-4\nu +4(1-\nu )\right]d\Omega ].\end{array}\)
Soit:
\({E}^{e}=\frac{1}{2}\frac{1+\nu }{E}\left[\left(5-9\nu \right)\left|{\Omega}_{1}\right|+\left(2-4\nu \right)\left|{\Omega}_{2}\right|+\left(8-16\nu \right)\left|{\Omega}_{3}\right|+\left(5-9\nu \right)\left|{\Omega}_{4}\right|\right].\)
On a:
\(\left|{\Omega}_{1}\right|=\left|{\Omega}_{2}\right|=\left|{\Omega}_{3}\right|=\left|{\Omega}_{4}\right|=5\times 5=25.\)
On a donc:
\({E}^{e}=\frac{1}{2}\frac{1+\nu }{E}25\left[(5-9\nu )+(2-4\nu )+(8-16\nu )+(5-9\nu ).\right]\)
Et finalement:
\({E}^{e}=\frac{25(1+\nu )(10-19\nu )}{E}=1,3975\text{MJ}\times {\text{m}}^{-1}.\)
Le champ de déplacement analytique \(u={u}_{x}{e}_{x}+{u}_{y}{e}_{y}\) s’obtient en intégrant les déformations:
\(\begin{array}{c}{u}_{x}={\int}_{-5}^{x}{\epsilon}_{xx}\mathit{dx},\\ {u}_{y}={\int}_{-5}^{y}{\epsilon}_{yy}\mathit{dy},\end{array}\)
car les conditions limites appliquées sont \({u}_{x}(x=-5)=0\) et \({u}_{y}(y=-5)=0\) .
Il est à noter que le tenseur des déformations est discontinu. On a en effet:
\(\epsilon =\lbrace \begin{array}{c}-\frac{(1+\nu )(2-3\nu )}{E}{e}_{x}\otimes {e}_{x}-\frac{(1+\nu )(1-3\nu )}{E}{e}_{y}\otimes {e}_{y},\text{dans}\left[-5,0\right[\times \left]0,+5\right]\\ -\frac{(1+\nu )(1-2\nu )}{E}{e}_{x}\otimes {e}_{x}-\frac{(1+\nu )(1-2\nu )}{E}{e}_{y}\otimes {e}_{y},\text{dans}\left[-5,0\right[\times \left[-5,0\right[\\ -\frac{2(1+\nu )(1-2\nu )}{E}{e}_{x}\otimes {e}_{x}-\frac{2(1+\nu )(1-2\nu )}{E}{e}_{y}\otimes {e}_{y},\text{dans}\left]0,+5\right]\times \left]0,+5\right]\\ -\frac{(1+\nu )(1-3\nu )}{E}{e}_{x}\otimes {e}_{x}-\frac{(1+\nu )(2-3\nu )}{E}{e}_{y}\otimes {e}_{y},\text{dans}\left]0,+5\right]\times \left[-5,0\right[\end{array}\)
On remarque que le champ de déformations est discontinu au travers des droites d’équation \(x=0\) et \(y=0\) . Il est donc nécessaire de distinguer les cas selon le signe de la coordonnée sur laquelle on intègre pour expliciter la valeur des intégrales.
On a ainsi:
\({u}_{x}=\lbrace \begin{array}{c}{\int}_{-5}^{x}\left[-\frac{(1+\nu )(2-3\nu )}{E}\right]\mathit{dx},\text{dans}\left[-5,0\right[\times \left]0,+5\right]\\ {\int}_{-5}^{x}\left[-\frac{(1+\nu )(1-2\nu )}{E}\right]\mathit{dx},\text{dans}\left[-5,0\right[\times \left[-5,0\right[\\ {\int}_{-5}^{0}\left[-\frac{(1+\nu )(2-3\nu )}{E}\right]\mathit{dx}+{\int}_{0}^{x}\left[-\frac{2(1+\nu )(1-2\nu )}{E}\right]\mathit{dx},\text{dans}\left]0,+5\right]\times \left]0,+5\right]\\ {\int}_{-5}^{0}\left[-\frac{(1+\nu )(1-2\nu )}{E}\right]\mathit{dx}+{\int}_{0}^{x}\left[-\frac{(1+\nu )(1-3\nu )}{E}\right]\mathit{dx},\text{dans}\left]0,+5\right]\times \left[-5,0\right[\end{array},\)
et
\({u}_{y}=\lbrace \begin{array}{c}{\int}_{-5}^{0}\left[-\frac{(1+\nu )(1-2\nu )}{E}\right]\mathit{dy}+{\int}_{0}^{y}\left[-\frac{(1+\nu )(1-3\nu )}{E}\right]\mathit{dy},\text{dans}\left[-5,0\right[\times \left]0,+5\right]\\ {\int}_{-5}^{y}\left[-\frac{(1+\nu )(1-2\nu )}{E}\right]\mathit{dy},\text{dans}\left[-5,0\right[\times \left[-5,0\right[\\ {\int}_{-5}^{0}\left[-\frac{(1+\nu )(2-3\nu )}{E}\right]\mathit{dy}+{\int}_{0}^{y}\left[-\frac{2(1+\nu )(1-2\nu )}{E}\right]\mathit{dy},\text{dans}\left]0,+5\right]\times \left]0,+5\right]\\ {\int}_{-5}^{y}\left[-\frac{(1+\nu )(2-3\nu )}{E}\right]\mathit{dy},\text{dans}\left]0,+5\right]\times \left[-5,0\right[\end{array}.\)
Soit:
\({u}_{x}=\lbrace \begin{array}{c}-\frac{(1+\nu )(2-3\nu )}{E}x-5\frac{(1+\nu )(2-3\nu )}{E},\text{dans}\left[-5,0\right[\times \left]0,+5\right]\\ -\frac{(1+\nu )(1-2\nu )}{E}x-5\frac{(1+\nu )(1-2\nu )}{E},\text{dans}\left[-5,0\right[\times \left[-5,0\right[\\ -\frac{2(1+\nu )(1-2\nu )}{E}x-5\frac{(1+\nu )(2-3\nu )}{E},\text{dans}\left]0,+5\right]\times \left]0,+5\right]\\ -\frac{(1+\nu )(1-3\nu )}{E}x-5\frac{(1+\nu )(1-2\nu )}{E},\text{dans}\left]0,+5\right]\times \left[-5,0\right[\end{array},\) éq 2.2-2
et:
\({u}_{y}=\lbrace \begin{array}{c}-\frac{(1+\nu )(1-3\nu )}{E}y-5\frac{(1+\nu )(1-2\nu )}{E},\text{dans}\left[-5,0\right[\times \left]0,+5\right]\\ -\frac{(1+\nu )(1-2\nu )}{E}y-5\frac{(1+\nu )(1-2\nu )}{E},\text{dans}\left[-5,0\right[\times \left[-5,0\right[\\ -\frac{2(1+\nu )(1-2\nu )}{E}y-5\frac{(1+\nu )(2-3\nu )}{E},\text{dans}\left]0,+5\right]\times \left]0,+5\right]\\ -\frac{(1+\nu )(2-3\nu )}{E}y-5\frac{(1+\nu )(2-3\nu )}{E},\text{dans}\left]0,+5\right]\times \left[-5,0\right[\end{array}.\) éq 2.2-3
Il est à noter que le champ de déplacement n’est pas continu. Le champ étant solution d’un problème de contact, la partie normale aux interfaces du déplacement est continue et on a:
\({u}_{x}(x={0}^{-})={u}_{x}(x={0}^{+})=\lbrace \begin{array}{c}-5\frac{(1+\nu )(1-2\nu )}{E}\text{, pour}y\in \left[-5,0\right[\\ -5\frac{(1+\nu )(2-3\nu )}{E}\text{, pour}y\in \left]0,+5\right]\end{array},\)
et
\({u}_{y}(y={0}^{-})={u}_{y}(y={0}^{+})=\lbrace \begin{array}{c}-5\frac{(1+\nu )(1-2\nu )}{E}\text{, pour}x\in \left[-5,0\right[\\ -5\frac{(1+\nu )(2-3\nu )}{E}\text{, pour}x\in \left]0,+5\right]\end{array}.\)
En revanche, la partie tangentielle du déplacement est discontinue et on a:
\({u}_{y}(x={0}^{+})-{u}_{y}(x={0}^{-})=-\frac{(y+5)(1+\nu )(1-\nu )}{E},\)
et
\({u}_{x}(y={0}^{+})-{u}_{x}(y={0}^{-})=-\frac{(x+5)(1+\nu )(1-\nu )}{E}.\)
Le calcul de l’intégrale du carré de la norme du déplacement doit donc encore une fois utiliser une partition du domaine conforme aux interfaces d’équation \(x=0\) et \(y=0\) .
On a donc:
\({\int}_{\Omega}{\Vert u\Vert }^{2}d\Omega ={\int}_{{\Omega}_{1}}\left({u}_{x}^{2}+{u}_{y}^{2}\right)d\Omega +{\int}_{{\Omega}_{2}}\left({u}_{x}^{2}+{u}_{y}^{2}\right)d\Omega +{\int}_{{\Omega}_{3}}\left({u}_{x}^{2}+{u}_{y}^{2}\right)d\Omega +{\int}_{{\Omega}_{4}}\left({u}_{x}^{2}+{u}_{y}^{2}\right)d\Omega .\)
On a finalement:
\({\int}_{\Omega}{\Vert u\Vert }^{2}d\Omega =\frac{1250\left(131{\nu}^{4}+119{\nu}^{3}-115{\nu}^{2}-3685\nu +40\right)}{3{E}^{2}}.\)
D’où:
\({\Vert u\Vert }_{{L}^{2}}=\frac{25}{E}\sqrt{\frac{2\left(131{\nu}^{4}+119{\nu}^{3}-115{\nu}^{2}-63\nu +40\right)}{3}}\approx 0,791204250915{\text{m}}^{2}.\)
2.2.2. Cas des contraintes planes#
Le tenseur des contraintes solution analytique est:
\(\sigma =-{p}_{x}(y){e}_{x}\otimes {e}_{x}-{p}_{y}(x){e}_{y}\otimes {e}_{y}\) éq 2.2-4
On a:
\(\mathit{tr}(\sigma )=-({p}_{x}(y)+{p}_{y}(x)).\)
Le tenseur des déformations est obtenu en appliquant la loi de Hooke et on a:
\(\begin{array}{c}\epsilon =\left[-\frac{1+\nu }{E}{p}_{x}(y)+\frac{\nu}{E}({p}_{x}(y)+{p}_{y}(x))\right]{e}_{x}\otimes {e}_{x}+\left[-\frac{1+\nu }{E}{p}_{y}(x)+\frac{\nu}{E}({p}_{x}(y)+{p}_{y}(x))\right]{e}_{y}\otimes {e}_{y}\\ +\frac{\nu}{E}({p}_{x}(y)+{p}_{y}(x)){e}_{z}\otimes {e}_{z}\end{array}\)
Et finalement:
\(\epsilon =-\left(\frac{{p}_{x}(y)}{E}-\nu \frac{{p}_{y}(x)}{E}\right){e}_{x}\otimes {e}_{x}-\left(\frac{{p}_{y}(x)}{E}-\nu \frac{{p}_{x}(y)}{E}\right){e}_{y}\otimes {e}_{y}+\frac{\nu}{E}\left({p}_{x}(y)+{p}_{y}(x)\right){e}_{z}\otimes {e}_{z}\)
L’énergie de la structure est:
:math:`{E}^{e}=frac{1}{2}{int}_{Omega}sigma :epsilon dOmega `
On a:
\(\sigma :\epsilon ={p}_{x}(y)\left(\frac{{p}_{x}(y)}{E}-\nu \frac{{p}_{y}(x)}{E}\right)+{p}_{y}(x)\left(\frac{{p}_{y}(x)}{E}-\nu \frac{{p}_{x}(y)}{E}\right)\)
Soit:
\(\sigma :\epsilon =\frac{{({p}_{x}(y))}^{2}}{E}-2\nu \frac{{p}_{x}(y){p}_{y}(x)}{E}+\frac{{({p}_{y}(x))}^{2}}{E}\)
On a donc:
:math:`{E}^{e}=frac{1}{2}frac{1}{E}{int}_{Omega}left[{({p}_{x}(y))}^{2}-2nu {p}_{x}(y){p}_{y}(x)+{({p}_{y}(x))}^{2}right]dOmega `
D’où d’après l’équation 2.2-1:
\({E}^{e}=\frac{1}{2}\frac{1}{E}\left[{\int}_{{\Omega}_{1}}\left(4-4\nu +1\right)d\Omega +{\int}_{{\Omega}_{2}}\left(1-2\nu +1\right)d\Omega +{\int}_{{\Omega}_{3}}\left(4-8\nu +4\right)d\Omega +{\int}_{{\Omega}_{4}}\left(1-4\nu +4\right)d\Omega \right].\)
Soit:
\({E}^{e}=\frac{1}{2}\frac{1}{E}\left[(5-4\nu )\left|{\Omega}_{1}\right|+(2-2\nu )\left|{\Omega}_{2}\right|+(8-8\nu )\left|{\Omega}_{3}\right|+(5-4\nu )\left|{\Omega}_{4}\right|\right].\)
On a donc:
\({E}^{e}=\frac{1}{2}\frac{1}{E}25\left[(5-4\nu )+(2-2\nu )+(8-8\nu )+(5-4\nu ).\right]\)
Et finalement:
\({E}^{e}=\frac{1}{E}25(10-9\nu )=1,825\text{MJ}\times {\text{m}}^{-1}.\) éq 2.2-5
Le champ de déplacement analytique \(u={u}_{x}{e}_{x}+{u}_{y}{e}_{y}\) s’obtient en intégrant les déformations:
\(\begin{array}{c}{u}_{x}={\int}_{-5}^{x}{\epsilon}_{xx}\mathit{dx},\\ {u}_{y}={\int}_{-5}^{y}{\epsilon}_{yy}\mathit{dy},\end{array}\)
car les conditions limites appliquées sont \({u}_{x}(x=-5)=0\) et \({u}_{y}(y=-5)=0\) .
Il est à noter que le tenseur des déformations est discontinu. On a en effet:
\(\epsilon =\lbrace \begin{array}{c}-\frac{2-\nu }{E}{e}_{x}\otimes {e}_{x}-\frac{1-2\nu }{E}{e}_{y}\otimes {e}_{y}+3\frac{\nu}{E}{e}_{z}\otimes {e}_{z},\text{dans}\left[-5,0\right[\times \left]0,+5\right]\\ -\frac{1-\nu }{E}{e}_{x}\otimes {e}_{x}-\frac{1-\nu }{E}{e}_{y}\otimes {e}_{y}+2\frac{\nu}{E}{e}_{z}\otimes {e}_{z},\text{dans}\left[-5,0\right[\times \left[-5,0\right[\\ -\frac{2-2\nu }{E}{e}_{x}\otimes {e}_{x}-\frac{2-2\nu }{E}{e}_{y}\otimes {e}_{y}+4\frac{\nu}{E}{e}_{z}\otimes {e}_{z},\text{dans}\left]0,+5\right]\times \left]0,+5\right]\\ -\frac{1-2\nu }{E}{e}_{x}\otimes {e}_{x}-\frac{2-\nu }{E}{e}_{y}\otimes {e}_{y}+3\frac{\nu}{E}{e}_{z}\otimes {e}_{z},\text{dans}\left]0,+5\right]\times \left[-5,0\right[\end{array}.\) éq 2.2-6
On remarque que le champ de déformations est discontinu au travers des droites d’équation \(x=0\) et \(y=0\) . Il est donc nécessaire de distinguer les cas selon le signe de la coordonnée sur laquelle on intègre pour expliciter la valeur des intégrales. On a ainsi:
\({u}_{x}=\lbrace \begin{array}{c}{\int}_{-5}^{x}\left(-\frac{2-\nu }{E}\right)\mathit{dx},\text{dans}\left[-5,0\right[\times \left]0,+5\right]\\ {\int}_{-5}^{x}\left(-\frac{1-\nu }{E}\right)\mathit{dx},\text{dans}\left[-5,0\right[\times \left[-5,0\right[\\ {\int}_{-5}^{0}\left(-\frac{2-\nu }{E}\right)\mathit{dx}+{\int}_{0}^{x}\left(-\frac{2-2\nu }{E}\right)\mathit{dx},\text{dans}\left]0,+5\right]\times \left]0,+5\right]\\ {\int}_{-5}^{0}\left(-\frac{1-\nu }{E}\right)\mathit{dx}+{\int}_{0}^{x}\left(-\frac{1-2\nu }{E}\right)\mathit{dx},\text{dans}\left]0,+5\right]\times \left[-5,0\right[\end{array},\)
et
\({u}_{y}=\lbrace \begin{array}{c}{\int}_{-5}^{0}\left(-\frac{1-\nu }{E}\right)\mathit{dy}+{\int}_{0}^{y}\left(-\frac{1-2\nu }{E}\right)\mathit{dy},\text{dans}\left[-5,0\right[\times \left]0,+5\right]\\ {\int}_{-5}^{y}\left(-\frac{1-\nu }{E}\right)\mathit{dy},\text{dans}\left[-5,0\right[\times \left[-5,0\right[\\ {\int}_{-5}^{0}\left(-\frac{2-\nu }{E}\right)\mathit{dy}+{\int}_{0}^{y}\left(-\frac{2-2\nu }{E}\right)\mathit{dy},\text{dans}\left]0,+5\right]\times \left]0,+5\right]\\ {\int}_{-5}^{y}\left(-\frac{2-\nu }{E}\right)\mathit{dy},\text{dans}\left]0,+5\right]\times \left[-5,0\right[\end{array}.\)
Soit:
\({u}_{x}=\lbrace \begin{array}{c}-\frac{2-\nu }{E}x-5\frac{2-\nu }{E},\text{dans}\left[-5,0\right[\times \left]0,+5\right]\\ -\frac{1-\nu }{E}x-5\frac{1-\nu }{E},\text{dans}\left[-5,0\right[\times \left[-5,0\right[\\ -\frac{2-2\nu }{E}x-5\frac{2-\nu }{E},\text{dans}\left]0,+5\right]\times \left]0,+5\right]\\ -\frac{1-2\nu }{E}x-5\frac{1-\nu }{E},\text{dans}\left]0,+5\right]\times \left[-5,0\right[\end{array},\) éq 2.2-7
et:
\({u}_{y}=\lbrace \begin{array}{c}-\frac{1-2\nu }{E}y-5\frac{1-\nu }{E},\text{dans}\left[-5,0\right[\times \left]0,+5\right]\\ -\frac{1-\nu }{E}y-5\frac{1-\nu }{E},\text{dans}\left[-5,0\right[\times \left[-5,0\right[\\ -\frac{2-2\nu }{E}y-5\frac{2-\nu }{E},\text{dans}\left]0,+5\right]\times \left]0,+5\right]\\ -\frac{2-\nu }{E}y-5\frac{2-\nu }{E},\text{dans}\left]0,+5\right]\times \left[-5,0\right[\end{array}.\) éq 2.2-8
Il est à noter que le champ de déplacement n’est pas continu. Le champ étant solution d’un problème de contact, la partie normale aux interfaces du déplacement est continue et on a:
\({u}_{x}(x={0}^{-})={u}_{x}(x={0}^{+})=\lbrace \begin{array}{c}-5\frac{1-\nu }{E}\text{, pour}y\in \left[-5,0\right[\\ -5\frac{2-\nu }{E}\text{, pour}y\in \left]0,+5\right]\end{array},\)
et
\({u}_{y}(y={0}^{-})={u}_{y}(y={0}^{+})=\lbrace \begin{array}{c}-5\frac{2-\nu }{E}\text{, pour}x\in \left[-5,0\right[\\ -5\frac{1-\nu }{E}\text{, pour}x\in \left]0,+5\right]\end{array}.\)
En revanche, la partie tangentielle du déplacement est discontinue et on a:
\({u}_{y}(x={0}^{+})-{u}_{y}(x={0}^{-})=-\frac{y+5}{E},\)
et
\({u}_{x}(y={0}^{+})-{u}_{x}(y={0}^{-})=-\frac{x+5}{E}.\)
Le calcul de l’intégrale du carré de la norme du déplacement doit donc encore une fois utiliser une partition du domaine conforme aux interfaces d’équation \(x=0\) et \(y=0\) .
On a donc:
\({\int}_{\Omega}{\Vert u\Vert }^{2}d\Omega ={\int}_{{\Omega}_{1}}\left({u}_{x}^{2}+{u}_{y}^{2}\right)d\Omega +{\int}_{{\Omega}_{2}}\left({u}_{x}^{2}+{u}_{y}^{2}\right)d\Omega +{\int}_{{\Omega}_{3}}\left({u}_{x}^{2}+{u}_{y}^{2}\right)d\Omega +{\int}_{{\Omega}_{4}}\left({u}_{x}^{2}+{u}_{y}^{2}\right)d\Omega .\)
On a finalement:
\({\int}_{\Omega}{\Vert u\Vert }^{2}d\Omega =\frac{1250\left(28{\nu}^{2}-63\nu +40\right)}{3{E}^{2}}.\)
D’où:
\({\Vert u\Vert }_{{L}^{2}}=\frac{25}{E}\sqrt{\frac{2\left(28{\nu}^{2}-63\nu +40\right)}{3}}\approx 0,992051745962{\text{m}}^{2}.\)
2.2.3. Cas 3D#
La structure occupe le domaine \({\Omega}_{3D}=\Omega \times [0,1]\) . Les conditions aux limites du cas 3D sont les mêmes que celles des cas 2D dans le plan \((X,Y),\) une condition de rouleau est imposée en \(Z=0\) et le bord \(Z=1\) est libre de contraintes. Le tenseur des contraintes solution analytique est donc identique au cas des contraintes planes ( cf. éq 2.2-4):
\(\sigma =-{p}_{x}(y){e}_{x}\otimes {e}_{x}-{p}_{y}(x){e}_{y}\otimes {e}_{y}\)
La densité d’énergie élastique est donc identique à celle du cas 3D. Le solide est d’épaisseur unitaire dans la direction \(Z\) . L’expression de l’énergie de la structure est donc identique au cas des contraintes planes, mais les unités sont modifiées. On a alors ( cf. éq 2.2-5):
\({E}^{e}=\frac{1}{E}25(10-9\nu )=1,825\text{MJ}.\)
Le champ de déplacement analytique \(u={u}_{x}{e}_{x}+{u}_{y}{e}_{y}+{u}_{z}{e}_{z}\) s’obtient en intégrant les déformations:
\(\begin{array}{c}{u}_{x}={\int}_{-5}^{x}{\epsilon}_{xx}\mathit{dx},\\ {u}_{y}={\int}_{-5}^{y}{\epsilon}_{yy}\mathit{dy},\\ {u}_{z}={\int}_{0}^{z}{\epsilon}_{zz}\mathit{dz},\end{array}\)
car les conditions limites appliquées sont \({u}_{x}(x=-5)=0\) , \({u}_{y}(y=-5)=0\) et \({u}_{z}(z=0)=0\) .
Il est à noter que le tenseur des déformations est discontinu. On a en effet ( cf. éq 2.2-6):
\(\epsilon =\lbrace \begin{array}{c}-\frac{2-\nu }{E}{e}_{x}\otimes {e}_{x}-\frac{1-2\nu }{E}{e}_{y}\otimes {e}_{y}+3\frac{\nu}{E}{e}_{z}\otimes {e}_{z},\text{dans}\left[-5,0\right[\times \left]0,+5\right]\times [0,1]\\ -\frac{1-\nu }{E}{e}_{x}\otimes {e}_{x}-\frac{1-\nu }{E}{e}_{y}\otimes {e}_{y}+2\frac{\nu}{E}{e}_{z}\otimes {e}_{z},\text{dans}\left[-5,0\right[\times \left[-5,0\right[\times [0,1]\\ -\frac{2-2\nu }{E}{e}_{x}\otimes {e}_{x}-\frac{2-2\nu }{E}{e}_{y}\otimes {e}_{y}+4\frac{\nu}{E}{e}_{z}\otimes {e}_{z},\text{dans}\left]0,+5\right]\times \left]0,+5\right]\times [0,1]\\ -\frac{1-2\nu }{E}{e}_{x}\otimes {e}_{x}-\frac{2-\nu }{E}{e}_{y}\otimes {e}_{y}+3\frac{\nu}{E}{e}_{z}\otimes {e}_{z},\text{dans}\left]0,+5\right]\times \left[-5,0\right[\times [0,1]\end{array}.\)
On remarque que le champ de déformations est discontinu au travers des droites d’équation \(x=0\) et \(y=0\) . Il est donc nécessaire de distinguer les cas selon le signe de la coordonnée sur laquelle on intègre pour expliciter la valeur des intégrales. Les expressions des composantes \({u}_{x}\) et \({u}_{y}\) sont identiques au cas des contraintes planes ( cf. éq 2.2-7et 2.2-8) et on a pour \({u}_{z}\) :
\({u}_{z}=\lbrace \begin{array}{c}{\int}_{0}^{1}\frac{3\nu }{E}\mathit{dz},\text{dans}\left[-5,0\right[\times \left]0,+5\right]\times [0,1]\\ {\int}_{0}^{1}\frac{2\nu }{E}\mathit{dz},\text{dans}\left[-5,0\right[\times \left[-5,0\right[\times [0,1]\\ {\int}_{0}^{1}\frac{4\nu }{E}\mathit{dz},\text{dans}\left]0,+5\right]\times \left]0,+5\right]\times [0,1]\\ {\int}_{0}^{1}\frac{3\nu }{E}\mathit{dz},\text{dans}\left]0,+5\right]\times \left[-5,0\right[\times [0,1]\end{array}.\)
Soit:
\({u}_{z}=\lbrace \begin{array}{c}\frac{3\nu }{E}z,\text{dans}\left[-5,0\right[\times \left]0,+5\right]\times [0,1]\\ \frac{2\nu }{E}z,\text{dans}\left[-5,0\right[\times \left[-5,0\right[\times [0,1]\\ \frac{4\nu }{E}z,\text{dans}\left]0,+5\right]\times \left]0,+5\right]\times [0,1]\\ \frac{3\nu }{E}z,\text{dans}\left]0,+5\right]\times \left[-5,0\right[\times [0,1]\end{array}.\) éq 2.2-9
Le calcul de l’intégrale du carré de la norme du déplacement doit donc encore une fois utiliser une partition du domaine conforme aux interfaces d’équation \(x=0\) et \(y=0\) . On a donc:
\(\begin{array}{c}{\int}_{{\Omega}_{3D}}{\Vert u\Vert }^{2}d\Omega ={\int}_{{\Omega}_{1}\times [0,1]}\left({u}_{x}^{2}+{u}_{y}^{2}+{u}_{z}^{2}\right)d\Omega +{\int}_{{\Omega}_{2}\times [0,1]}\left({u}_{x}^{2}+{u}_{y}^{2}+{u}_{z}^{2}\right)d\Omega \\ +{\int}_{{\Omega}_{3}\times [0,1]}\left({u}_{x}^{2}+{u}_{y}^{2}+{u}_{z}^{2}\right)d\Omega +{\int}_{{\Omega}_{4}\times [0,1]}\left({u}_{x}^{2}+{u}_{y}^{2}+{u}_{z}^{2}\right)d\Omega .\end{array}\)
On a finalement:
\({\int}_{{\Omega}_{3D}}{\Vert u\Vert }^{2}d\Omega =\frac{50(719{\nu}^{2}-1575\nu +1000)}{3{E}^{2}}.\)
D’où:
\({\Vert u\Vert }_{{L}^{2}}=\frac{5}{E}\sqrt{\frac{2(719{\nu}^{2}-1575\nu +1000)}{3}}\approx 0,99348712456{\text{m}}^{\frac{5}{2}}.\)