2. Solution de référence

2.1. Méthode de calcul

Il s’agit d’une solution analytique. Compte tenu des conditions aux limites, les déplacements peuvent être obtenus à partir de la résolution analytique de l’équation de conservation de la quantité de mouvement.

Le Coefficient de Poisson \(\nu\) étant nul, le problème est unidimensionnel suivant \(y\) . Le tenseur des contraintes est uniforme dans tout le domaine: \(\sigma =Eϵ=E\ast {ϵ}_{yy}{e}_{y}\otimes {e}_{y}\) .

Or \(\text{Div}(\sigma )=0\) donc \(\frac{\partial {ϵ}_{yy}}{\partial y}=0\) . D’après les conditions aux limites appliquées \({ϵ}_{yy}=\frac{{u}_{\text{y, impo}}}{L}\)

Finalement, \(\sigma =E\ast \frac{{u}_{\text{y, impo}}}{L}{e}_{y}\otimes {e}_{y}={\sigma}_{yy}{e}_{y}\otimes {e}_{y}\) .

Au niveau de la fissure, \({e}_{r}=-\sin(\theta ){e}_{\text{x}}+\cos(\theta ){e}_{\text{y}}\) et \({e}_{\theta}=-\cos(\theta ){e}_{\text{x}}-\sin(\theta ){e}_{\text{y}}\) .

Au niveau d’un point de la fissure de coordonnées \((R,\theta )\) , s’il n’y avait pas de fissure, on aurait:

\(\sigma .{e}_{\text{r}}=({e}_{\text{r}}.\sigma .{e}_{\text{r}}){e}_{\text{r}}+({e}_{\text{r}}.\sigma .{e}_{\theta}){e}_{\theta}={\sigma}_{yy}\ast [{({e}_{y}.{e}_{r})}^{2}{e}_{\text{r}}+({e}_{y}.{e}_{r})x({e}_{y}.{e}_{\theta}){e}_{\theta}]\)

\(\sigma .{e}_{\text{r}}={\sigma}_{yy}\ast (\mathit{cos²}(\theta ){e}_{\text{r}}-\sin(\theta )\cos(\theta ){e}_{\theta})\)

Finalement la solution du problème est :

\(\sigma ={\sigma}_{yy}{e}_{y}\otimes {e}_{y}\)

\(u(x,y)=\frac{{u}_{\text{y, impo}}}{L}\ast (\frac{L}{2}+y)\)

2.2. Grandeurs et résultats de référence

On teste la valeur des contraintes SIGMAXX et SIGMAYY sur l’ensemble de la colonne.

Grandeurs testées	Type de référence	Valeur de référence
SIGMAXX(MPa)	“ANALYTIQUE”	0,0
SIGMAYY(MPa)	“ANALYTIQUE”	-5800.0

2.3. Incertitudes sur la solution

Aucune, la solution est analytique.