Solution de référence
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Méthode de calcul
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Il s'agit d'une solution analytique. Compte tenu des conditions aux limites, les déplacements peuvent être obtenus à partir de la résolution analytique de l'équation de conservation de la quantité de mouvement.

Le Coefficient de Poisson :math:`\nu` étant nul, le problème est unidimensionnel suivant :math:`y` . Le tenseur des contraintes est uniforme dans tout le domaine: :math:`\sigma =Eϵ=E\ast {ϵ}_{yy}{e}_{y}\otimes {e}_{y}` .

Or :math:`\text{Div}(\sigma )=0` donc :math:`\frac{\partial {ϵ}_{yy}}{\partial y}=0` . D'après les conditions aux limites appliquées :math:`{ϵ}_{yy}=\frac{{u}_{\text{y, impo}}}{L}`

Finalement, :math:`\sigma =E\ast \frac{{u}_{\text{y, impo}}}{L}{e}_{y}\otimes {e}_{y}={\sigma}_{yy}{e}_{y}\otimes {e}_{y}` .

Au niveau de la fissure, :math:`{e}_{r}=-\sin(\theta ){e}_{\text{x}}+\cos(\theta ){e}_{\text{y}}` et :math:`{e}_{\theta}=-\cos(\theta ){e}_{\text{x}}-\sin(\theta ){e}_{\text{y}}` .

Au niveau d'un point de la fissure de coordonnées :math:`(R,\theta )` , s'il n'y avait pas de fissure, on aurait:

:math:`\sigma .{e}_{\text{r}}=({e}_{\text{r}}.\sigma .{e}_{\text{r}}){e}_{\text{r}}+({e}_{\text{r}}.\sigma .{e}_{\theta}){e}_{\theta}={\sigma}_{yy}\ast [{({e}_{y}.{e}_{r})}^{2}{e}_{\text{r}}+({e}_{y}.{e}_{r})x({e}_{y}.{e}_{\theta}){e}_{\theta}]`

:math:`\sigma .{e}_{\text{r}}={\sigma}_{yy}\ast (\mathit{cos²}(\theta ){e}_{\text{r}}-\sin(\theta )\cos(\theta ){e}_{\theta})`

Finalement la solution du problème est :

:math:`\sigma ={\sigma}_{yy}{e}_{y}\otimes {e}_{y}`

:math:`u(x,y)=\frac{{u}_{\text{y, impo}}}{L}\ast (\frac{L}{2}+y)`


Grandeurs et résultats de référence
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On teste la valeur des contraintes SIGMAXX et SIGMAYY sur l'ensemble de la colonne.


.. csv-table::

    "Grandeurs testées", "Type de référence", "Valeur de référence"
    "SIGMAXX(MPa)", "'ANALYTIQUE'", "0,0"
    "SIGMAYY(MPa)", "'ANALYTIQUE'", "-5800.0"



Incertitudes sur la solution
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Aucune, la solution est analytique.