2. Solution de référence#

2.1. Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence#

Pour un système sans amortissement, l’équation différentielle à résoudre s’écrit:

(2.1)#\[\begin{split}\lbrace \begin{array}{}m\ddot{r}+kr=\mu \mid {F}_{n}\mid \\ r(t=0)={r}_{0}\ge 0\\ \dot{r}(t=0)=0\end{array}\end{split}\]

On montre [bib1] que la solution de l’équation différentielle s’écrit:

\(r(t)=\frac{\mu |{F}_{n}|}{k}+\left({r}_{0}-\frac{\mu |{F}_{n}|}{k}\right)\cos({\omega}_{0}t)\) avec \({\omega}_{0}=\sqrt{\frac{k}{m}}\)

L’amplitude des extrema, qui proviennent tous les \({t}_{n+1}=\frac{n\pi }{{\omega}_{0}}\) , obéit à la loi de récurrence suivante:

\(r({t}_{n+1})={(-1)}^{n}\left[{r}_{0}-\frac{\mu \mid {F}_{n}\mid }{k}\right]\cos{\omega}_{0}t\)

avec \(n=1,2,\dots ,N\) tel que \(∣\frac{r({t}_{n+1})}{{r}_{0}}∣<\frac{\mu \mid {F}_{n}\mid }{k{r}_{0}}\)

Le mouvement s’arrête quand \(∣\frac{r({t}_{n+1})}{{r}_{0}}∣<\frac{\mu \mid {F}_{n}\mid }{k{r}_{0}}\) à la position \(r({t}_{n+1})\) .

2.2. Résultats de référence#

Valeurs des déplacements dans la direction \(\theta =45°\) pour les instants de changement de signe de la vitesse \(r({t}_{1}),r({t}_{2}),r({t}_{3}),\mathrm{...}\) établis ci-dessus.

2.3. Incertitude sur la solution#

Solution analytique.

2.4. Références bibliographiques#

  1. AXISA - Méthodes d’analyse en dynamique non linéaire des structures: non-linéarités de contact - Cours IPSI du 28 au 30 mai 1991