2. Solution de référence

2.1. Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence

La solution analytique en déplacement, dans la base canonique \((\overrightarrow{{e}_{x}},\overrightarrow{{e}_{y}},\overrightarrow{{e}_{z}})\) , vaut:

\(U(x,y,z)=k\left\lbrace \begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right\rbrace \pm 2\) où, \(k=-\frac{p(1-2\nu )}{E}={4.10}^{-3}\) .

Par la suite, on vérifie que cette expression du champ déplacement, est l’unique solution du problème d’équilibre de part et d’autre de l’interface XFEM, c’est-à-dire, que la solution proposée § 2.1 , respecte les conditions limites et les hypothèses du problème HPP.

Par construction, la solution en déplacement vérifie les conditions de Dirichlet du § 1.3 .

Le tenseur des déformations vaut: \(\underline{\underline{\epsilon}}=\frac{1}{2}(\nabla U+\nabla {U}^{T})=\left[\begin{array}{ccc}k& 0& 0\\ 0& k& 0\\ 0& 0& k\end{array}\right]=kI\) .

En prenant \(k=0,4\text{\%}\) , on respecte l’hypothèse des petites perturbations.

La loi de Hooke, pour un matériau isotrope, valant:

\(\underline{\underline{\sigma}}=\frac{E}{1+\nu }(\underline{\underline{\epsilon}}+\frac{\nu}{1-2\nu }\mathit{Tr}(\underline{\underline{\epsilon}})I)=k\frac{E}{1-2\nu }I\)

or, par construction, on a: \(k=-\frac{p(1-2\nu )}{E}\)

avec, \(\underline{\underline{\sigma}}=-pI\) .

Enfin, les conditions limites de Neumann à imposer sur les bords du domaine \(-\underline{\underline{\sigma}}.\overrightarrow{n}=p\) , correspondent bien au chargement du § 1.3 .

Comme, le tenseur des contraintes est uniforme, il respecte l’équation d’équilibre statique, \(div\underline{\underline{\sigma}}=0\) .

2.2. Résultats de référence

On teste l’erreur maximale, sur les déplacements en quelques points situés sur l’interface \(x+y+z+\mathit{cte}=0\) . La valeur du déplacement en ces points correspond à l’interpolation du champ de déplacement calculé par Aster. Le déplacement calculé par Aster, est alors comparé à la valeur analytique du déplacement donnée au § 2.1 :

\(U(x,y,z)={4.10}^{-3}\left\lbrace \begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right\rbrace +\mathit{sign}(x+y+z+\mathit{cte})\times 2\)