3. Modélisation A#
3.1. Caractéristiques de la modélisation#
C’est une modélisation \(\mathrm{3D}\) XFEM avec des éléments linéaires.
Cette modélisation démontre le bon fonctionnement des critères «estimatifs» avec des éléments linéaires. L’interface est positionnée telle que le seuil de réajustement de l’interface à 1% est atteint: l’interface est alors modifiée et réajustée aux nœuds les plus proches. Cette modification permet de maîtriser le conditionnement. En revanche, le réajustement de l’interface dégrade sensiblement la qualité des résultats pour les éléments linéaires (pour les éléments quadratiques, on supprime ce réajustement, pour le remplacer par un pré-conditionnement algébrique).
L’équation de l’interface XFEM est : \(x+y+z+0.01=0\) .
3.2. Caractéristiques du maillage#
Nombre de nœuds: 125
Maillage: 64 mailles de type HEXA8
Figure 3.2-1: maillage linéaire
3.3. Grandeurs testées et résultats#
On teste l’erreur maximale sur le déplacement, en valeur absolue, le long de l’interface XFEM. On extrait une liste de points situés sur l’interface, ainsi que le champ de déplacement interpolé en ces points.
Comme le champ de déplacement est discontinu, il existe en chaque point de l’interface 2 valeurs analytiques du champ de déplacement \({U}^{+}\left(x,y,z\right)=\lbrace {U}_{1}^{+},{U}_{2}^{+},{U}_{3}^{+}\rbrace\) et \({U}^{-}\left(x,y,z\right)=\lbrace {U}_{1}^{-},{U}_{2}^{-},{U}_{3}^{-}\rbrace\) .On compare ces valeurs analytiques, au champ de déplacement interpolé en chaque point.
En pratique, dans le Code_Aster pour tenir compte de la discontinuité lors de l’interpolation, chaque point sur l’interface est transformé en nœuds doublon (NP* et NM*) auxquels sont associées des valeurs de déplacements \({\mathit{DX}}_{i}(\mathit{NP})\) et \({\mathit{DX}}_{i}(\mathit{NM})\) .
Pour les nœuds «PLUS» (noté NP* par défaut dans le code_Aster) , on calcule alors la table de différence suivante \(\mathit{DIFF}{(\mathit{NP})}_{i}=∣{U}_{i}^{+}({x}_{\mathit{NP}},{y}_{\mathit{NP}},{z}_{\mathit{NP}})-{\mathit{DX}}_{i}(\mathit{NP})∣\) ;
pour les nœuds «MOINS» (noté NM* par défaut dans le code_Aster), on calcule alors la table de différence suivante \(\mathit{DIFF}{(\mathit{NM})}_{i}=∣{U}_{i}^{-}({x}_{\mathit{NM}},{y}_{\mathit{NM}},{z}_{\mathit{NM}})-{\mathit{DX}}_{i}(\mathit{NM})∣\) .
Identification |
Référence |
Type |
% tolérance |
\(\text{DIFF}{\text{(NP)}}_{X}\) (MAX) |
0.0 |
Analytique |
0.2 |
\(\text{DIFF}{\text{(NP)}}_{Y}\) (MAX) |
0.0 |
Analytique |
0.2 |
\(\text{DIFF}{\text{(NP)}}_{Z}\) (MAX) |
0.0 |
Analytique |
0.2 |
\(\text{DIFF}{\text{(NM)}}_{X}\) (MAX) |
0.0 |
Analytique |
0.2 |
\(\text{DIFF}{\text{(NM)}}_{Y}\) (MAX) |
0.0 |
Analytique |
0.2 |
\(\text{DIFF}{\text{(NM)}}_{Z}\) (MAX) |
0.0 |
Analytique |
0.2 |
Tableau 3.3-1 : résultats synthétiques
3.4. Remarque#
Les tolérances analytiques sont beaucoup plus élevées que pour les modélisations quadratiques \(B\) et \(C\) .