Solution de référence ===================== .. _RefNumPara__2067_1949168123: Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence -------------------------------------------------------- La solution analytique en déplacement, dans la base canonique :math:`(\overrightarrow{{e}_{x}},\overrightarrow{{e}_{y}},\overrightarrow{{e}_{z}})` , vaut: :math:`U(x,y,z)=k\left\lbrace \begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right\rbrace \pm 2` où, :math:`k=-\frac{p(1-2\nu )}{E}={4.10}^{-3}` . Par la suite, on vérifie que cette expression du champ déplacement, est l'unique solution du problème d'équilibre de part et d'autre de l'interface XFEM, c'est-à-dire, que la solution proposée § :ref:`2.1 ` , respecte les conditions limites et les hypothèses du problème HPP. Par construction, la solution en déplacement vérifie les conditions de Dirichlet du § :ref:`1.3 ` . Le tenseur des déformations vaut: :math:`\underline{\underline{\epsilon}}=\frac{1}{2}(\nabla U+\nabla {U}^{T})=\left[\begin{array}{ccc}k& 0& 0\\ 0& k& 0\\ 0& 0& k\end{array}\right]=kI` . En prenant :math:`k=0,4\text{\%}` , on respecte l'hypothèse des petites perturbations. La loi de Hooke, pour un matériau isotrope, valant: :math:`\underline{\underline{\sigma}}=\frac{E}{1+\nu }(\underline{\underline{\epsilon}}+\frac{\nu}{1-2\nu }\mathit{Tr}(\underline{\underline{\epsilon}})I)=k\frac{E}{1-2\nu }I` or, par construction, on a: :math:`k=-\frac{p(1-2\nu )}{E}` avec, :math:`\underline{\underline{\sigma}}=-pI` . Enfin, les conditions limites de Neumann à imposer sur les bords du domaine :math:`-\underline{\underline{\sigma}}.\overrightarrow{n}=p` , correspondent bien au chargement du § :ref:`1.3 ` . Comme, le tenseur des contraintes est uniforme, il respecte l'équation d'équilibre statique, :math:`div\underline{\underline{\sigma}}=0` . Résultats de référence ---------------------- On teste l'erreur maximale, sur les déplacements en quelques points situés sur l'interface :math:`x+y+z+\mathit{cte}=0` . La valeur du déplacement en ces points correspond à l'interpolation du champ de déplacement calculé par Aster. Le déplacement calculé par Aster, est alors comparé à la valeur analytique du déplacement donnée au § :ref:`2.1 ` : :math:`U(x,y,z)={4.10}^{-3}\left\lbrace \begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right\rbrace +\mathit{sign}(x+y+z+\mathit{cte})\times 2`