5. Modélisation C#
5.1. Caractéristiques de la modélisation#
C’est une modélisation \(\mathrm{3D}\) XFEM avec des éléments quadratiques.
L’interface est positionnée exactement comme dans la modélisation \(A\) (à 1% de l’arête). Comme, les critères estimatifs ne sont pas adaptés aux éléments quadratiques, seul le pré-conditionneur contrôle le conditionnement de la matrice de rigidité. Le test démontre que le pré-conditionneur rend d’une part, possible un positionnement de l’interface XFEM, totalement indépendant de la proximité des nœuds du maillage et d’autre part, augmente considérablement la précision des résultats par rapport à la modélisation \(A\) .
L’équation de l’interface XFEM est : \(x+y+z+0.01=0\) , dans la même configuration que la modélisation \(A\) .
5.2. Caractéristiques du maillage#
Même maillage que la modélisation \(B\) .
5.3. Grandeurs testées et résultats#
On teste l’erreur maximale sur le déplacement, en valeur absolue, le long de l’interface XFEM. On extrait une liste de points situés sur l’interface, ainsi que le champ de déplacement interpolé en ces points.
Comme le champ de déplacement est discontinu, il existe en chaque point de l’interface 2 valeurs analytiques du champ de déplacement \({U}^{+}\left(x,y,z\right)=\lbrace {U}_{1}^{+},{U}_{2}^{+},{U}_{3}^{+}\rbrace\) et \({U}^{-}\left(x,y,z\right)=\lbrace {U}_{1}^{-},{U}_{2}^{-},{U}_{3}^{-}\rbrace\) .On compare ces valeurs analytiques, au champ de déplacement interpolé en chaque point par ASTER.
En pratique, dans le Code_Aster pour tenir compte de la discontinuité lors de l’interpolation, chaque point sur l’interface est transformé en nœuds doublon (NP* et NM*) auxquels sont associées des valeurs de déplacements \({\mathit{DX}}_{i}(\mathit{NP})\) et \({\mathit{DX}}_{i}(\mathit{NM})\) .
Pour les nœuds «PLUS» (noté NP* par défaut dans le code_Aster) , on calcule alors la table de différence suivante \(\mathit{DIFF}{(\mathit{NP})}_{i}=∣{U}_{i}^{+}({x}_{\mathit{NP}},{y}_{\mathit{NP}},{z}_{\mathit{NP}})-{\mathit{DX}}_{i}(\mathit{NP})∣\) ;
pour les nœuds «MOINS» (noté NM* par défaut dans le code_Aster), on calcule alors la table de différence suivante \(\mathit{DIFF}{(\mathit{NM})}_{i}=∣{U}_{i}^{-}({x}_{\mathit{NM}},{y}_{\mathit{NM}},{z}_{\mathit{NM}})-{\mathit{DX}}_{i}(\mathit{NM})∣\) .
Identification |
Référence |
Type |
% tolérance |
\(\text{DIFF}{\text{(NP)}}_{X}\) (MAX) |
0.0 |
Analytique |
1.E-09 |
\(\text{DIFF}{\text{(NP)}}_{Y}\) (MAX) |
0.0 |
Analytique |
1.E-09 |
\(\text{DIFF}{\text{(NP)}}_{Z}\) (MAX) |
0.0 |
Analytique |
1.E-09 |
\(\text{DIFF}{\text{(NM)}}_{X}\) (MAX) |
0.0 |
Analytique |
1.E-03 |
\(\text{DIFF}{\text{(NM)}}_{Y}\) (MAX) |
0.0 |
Analytique |
1.E-03 |
\(\text{DIFF}{\text{(NM)}}_{Z}\) (MAX) |
0.0 |
Analytique |
1.E-03 |
Tableau 5.3-1 : résultats synthétiques