5. Modélisation C : Modélisation X-FEM 3D#
5.1. Caractéristiques de la modélisation#
Dans cette modélisation, la fissure n’est pas maillée (cas X-FEM) et la structure est modélisée en 3D. Seul un quart de la structure est modélisé, pour des raisons de symétrie.
La fissure est représentée par des level sets:
\(\mathit{lsn}=\sqrt{{x}^{2}+{(y-R)}^{2}+{z}^{2}}-R\)
\(\mathit{lst}=\sqrt{{x}^{2}+{(y-{y}_{h})}^{2}+{z}^{2}}-R'\)
avec \({y}_{h}=R-\frac{R}{\cos(\alpha )}\) et \(R'=R\tan(\alpha )\)
Remarque:
En 3 D , il existe un choix arbitraire d’orientation de la base locale en fond de fissure. Suivant l’orientation de cette base, le signe de \({K}_{\mathit{II}}\) et \({K}_{\mathit{III}}\) sera différent (car lié à la base). Mais cela n’a pas d’influence sur le résultat physique (angle de bifurcation éventuel de la fissure exprimé dans le repère global). Ici, pour retrouver \({K}_{\mathit{II}}>0\) comme dans la solution de référence, il faut définir la level set normale comme l’opposée de la formule ci-dessus. Dans cette modélisation, on retiendra finalement \(\mathit{lsn}=-\sqrt{{x}^{2}+{(y-R)}^{2}+{z}^{2}}+R\) *. Cela reste une convention et ne change pas le résultat physique!*
En 2 D , le signe de la level set normale n’influe pas sur le signe de \({K}_{\mathit{II}}\) car il n’y a pas de choi x pour définir la base locale.
5.2. Caractéristiques du maillage#
Le maillage sain initial est relativement grossier: 2508 nœuds et 11945 TETRA4. La taille des mailles est \({h}_{0}=1m\) . On utilise une procédure de raffinement successif pour aboutir à une taille cible sensiblement identique à celle de la modélisation A, soit \({h}_{c}=0,025m\) . Pour cela, on appelle Homard de manière itérative. Après raffinement, la taille des mailles proches du fond de fissure est \(h=0,015625m\) . On raffine toutes les mailles dans un disque de rayon \(5h\) autour du fond de fissure.
Nombre de nœuds: 18166
Nombre de mailles et type: 103079 TETRA4
La longueur caractéristique d’un élément près du fond de fissure est de 0,0156 m.
Figure 5.2-1: maillage initial
Figure 5.2-2: maillage raffiné
Figure 5.2-3: Carte de taille sur une coupe du maillage raffiné
5.3. Conditions aux limites et chargements#
Un effort surfacique de traction est appliqué sur les faces supérieure, inférieure et extérieure;
Les conditions de symétrie sur les faces latérales sont appliquées;
Le mode rigide de déplacement suivant l’axe \(\mathit{Oy}\) est bloqué via le blocage d’un nœud suivant cet axe.
5.4. Grandeurs testées et résultats#
Le choix des paramètres numériques pour le post-traitement des SIFs est identique à celui fait pour la modélisation A: \({R}_{\inf}=2h\) et \({R}_{\sup}=5h\) .
5.4.1. Valeurs issues de CALC_G_XFEM#
Les valeurs sont en \(\mathit{Pa}.\sqrt{m}\) .
Identification |
Type de référence |
Valeur de référence |
Tolérance |
\(max({K}_{I})\) |
“ANALYTIQUE” |
1,177 106 |
5% |
\(min({K}_{I})\) |
“ANALYTIQUE” |
1,177 106 |
2% |
\(max({K}_{\mathit{II}})\) |
“ANALYTIQUE” |
0,3153 106 |
15% |
\(min({K}_{\mathit{II}})\) |
“ANALYTIQUE” |
0,3153 106 |
5% |
5.4.2. Valeurs issues de POST_K1_K2_K3#
Les valeurs sont en \(\mathit{Pa}.\sqrt{m}\) .
Identification |
Type de référence |
Valeur de référence |
Tolérance |
\(max({K}_{I})\) |
“ANALYTIQUE” |
1,177 106 |
2% |
\(min({K}_{I})\) |
“ANALYTIQUE” |
1,177 106 |
9% |
\(max({K}_{\mathit{II}})\) |
“ANALYTIQUE” |
0,3153 106 |
14% |
\(min({K}_{\mathit{II}})\) |
“ANALYTIQUE” |
0,3153 106 |
2% |
5.4.3. Commentaires#
En raffinant davantage le maillage, on peut diminuer l’erreur, mais le temps de calcul devient incompatible avec celui d’un cas-test.
Figure 5.4.3-1: comparaison des K entres les différentes méthodes