2. Solution de référence#
2.1. Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence#
Analytique
\(\begin{array}{ccc}{\sigma}_{zz}& =& 2\nu P\frac{{a}^{2}}{{b}^{2}-{a}^{2}}\\ {\sigma}_{\mathrm{rr}}& =& P\frac{{a}^{2}}{{b}^{2}-{a}^{2}}\left[1-\frac{{b}^{2}}{{r}^{2}}\right]\\ {\sigma}_{\theta \theta }& =& P\frac{{a}^{2}}{{b}^{2}-{a}^{2}}\left[1+\frac{{b}^{2}}{{r}^{2}}\right]\\ {\sigma}_{r\theta }& =& 0\\ {u}_{r}& =& \frac{P}{E}\frac{{a}^{2}}{{b}^{2}-{a}^{2}}(1+\nu )\left[(1-2\nu )+\frac{{b}^{2}}{{r}^{2}}\right]r\end{array}\)
On obtient:
Pour \(r=0.1\) |
\({u}_{r}=5,72{10}^{-5}\) |
Pour \(r=0.2\) |
\({u}_{r}=3,64{10}^{-5}\) |
\({\sigma}_{\mathrm{rr}}=-60.\) |
\({\sigma}_{\mathrm{rr}}=0.\) |
||
\({\sigma}_{\theta \theta }=100.\) |
\({\sigma}_{\theta \theta }=40.\) |
||
\({\sigma}_{zz}=12.\) |
\({\sigma}_{zz}=12.\) |
||
\({\sigma}_{r\theta }=0.\) |
\({\sigma}_{r\theta }=0.\) |
Passage dans le système d’axes cartésiens:
\(\begin{array}{}{\sigma}_{xx}={\sigma}_{\mathrm{rr}}{\cos}^{2}\theta +{\sigma}_{\theta \theta }{\sin}^{2}\theta -2{\sigma}_{r\theta }\sin\theta \cos\theta \\ {\sigma}_{yy}={\sigma}_{\mathrm{rr}}{\sin}^{2}\theta +{\sigma}_{\theta \theta }{\cos}^{2}\theta +2{\sigma}_{r\theta }\sin\theta \cos\theta \\ {\sigma}_{xy}={\sigma}_{\mathrm{rr}}\sin\theta \cos\theta -{\sigma}_{\theta \theta }\sin\theta \cos\theta -2{\sigma}_{r\theta }({\cos}^{2}\theta -{\sin}^{2}\theta )\end{array}\)
avec:
\(\theta =0°\) aux points \(A\) et \(B\) ,
\(\theta =22.5°\) aux points \(C\) et \(D\) ,
\(\theta =45°\) aux points \(E\) et \(F\) .
2.2. Résultats de référence#
Déplacements \((u,v)\) et contraintes \(({\sigma}_{xx},{\sigma}_{yy},{\sigma}_{zz},{\sigma}_{xy})\) aux points \(A,B,C,D,E,F\) .
2.3. Références bibliographiques#
FUNG. Fundations of solid mechanics. Prentice-hall, inc. Englewood Cliffs. NJ. 1965 p.243 à 245.