Solution de référence
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Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence
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Analytique

:math:`\begin{array}{ccc}{\sigma}_{zz}& =& 2\nu P\frac{{a}^{2}}{{b}^{2}-{a}^{2}}\\ {\sigma}_{\mathrm{rr}}& =& P\frac{{a}^{2}}{{b}^{2}-{a}^{2}}\left[1-\frac{{b}^{2}}{{r}^{2}}\right]\\ {\sigma}_{\theta \theta }& =& P\frac{{a}^{2}}{{b}^{2}-{a}^{2}}\left[1+\frac{{b}^{2}}{{r}^{2}}\right]\\ {\sigma}_{r\theta }& =& 0\\ {u}_{r}& =& \frac{P}{E}\frac{{a}^{2}}{{b}^{2}-{a}^{2}}(1+\nu )\left[(1-2\nu )+\frac{{b}^{2}}{{r}^{2}}\right]r\end{array}`

On obtient:

.. csv-table::

    "Pour :math:`r=0.1`", ":math:`{u}_{r}=5,72{10}^{-5}`", "Pour :math:`r=0.2`", ":math:`{u}_{r}=3,64{10}^{-5}`"
    "", ":math:`{\sigma}_{\mathrm{rr}}=-60.`", "", ":math:`{\sigma}_{\mathrm{rr}}=0.`"
    "", ":math:`{\sigma}_{\theta \theta }=100.`", "", ":math:`{\sigma}_{\theta \theta }=40.`"
    "", ":math:`{\sigma}_{zz}=12.`", "", ":math:`{\sigma}_{zz}=12.`"
    "", ":math:`{\sigma}_{r\theta }=0.`", "", ":math:`{\sigma}_{r\theta }=0.`"


Passage dans le système d’axes cartésiens:

:math:`\begin{array}{}{\sigma}_{xx}={\sigma}_{\mathrm{rr}}{\cos}^{2}\theta +{\sigma}_{\theta \theta }{\sin}^{2}\theta -2{\sigma}_{r\theta }\sin\theta \cos\theta \\ {\sigma}_{yy}={\sigma}_{\mathrm{rr}}{\sin}^{2}\theta +{\sigma}_{\theta \theta }{\cos}^{2}\theta +2{\sigma}_{r\theta }\sin\theta \cos\theta \\ {\sigma}_{xy}={\sigma}_{\mathrm{rr}}\sin\theta \cos\theta -{\sigma}_{\theta \theta }\sin\theta \cos\theta -2{\sigma}_{r\theta }({\cos}^{2}\theta -{\sin}^{2}\theta )\end{array}`

avec:


*   :math:`\theta =0°` aux points :math:`A` et :math:`B` ,


*   :math:`\theta =22.5°` aux points :math:`C` et :math:`D` ,


*   :math:`\theta =45°` aux points :math:`E` et :math:`F` .


Résultats de référence
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Déplacements :math:`(u,v)` et contraintes :math:`({\sigma}_{xx},{\sigma}_{yy},{\sigma}_{zz},{\sigma}_{xy})` aux points :math:`A,B,C,D,E,F` .


Références bibliographiques
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1.  Y. C. FUNG. Fundations of solid mechanics. Prentice-hall, inc. Englewood Cliffs. NJ. 1965 p.243 à 245.