2. Solution de référence#

2.1. Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence#

Les relations élastiques, reliant les efforts membranaires \(N\) et de flexion \(M\) aux déformations membranaires \(\varepsilon\) et les courbures \(\kappa\) et tenant compte de deux grilles symétriques, s’écrivent:

\(N=(\frac{{E}_{b}h}{1-{\nu}_{b}^{2}}\left[\begin{array}{ccc}1& {\nu}_{b}& 0\\ {\nu}_{b}& 1& 0\\ 0& 0& \frac{1-{\nu}_{b}}{2}\end{array}\right]+2{E}_{a}\left[\begin{array}{ccc}{a}_{x}& 0& 0\\ 0& {a}_{y}& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right])\varepsilon\)

\(M=(\frac{{E}_{b}{h}^{3}}{12(1-{\nu}_{b}^{2})}\left[\begin{array}{ccc}1& {\nu}_{b}& 0\\ {\nu}_{b}& 1& 0\\ 0& 0& \frac{1-{\nu}_{b}}{2}\end{array}\right]+2{E}_{a}{e}_{z}^{2}\left[\begin{array}{ccc}{a}_{x}& 0& 0\\ 0& {a}_{y}& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right])\kappa\)

S’agissant d’une configuration poutre, on affecte au béton un coefficient de Poisson égal à 0 pour annuler toute flexion dans la direction perpendiculaire. Deux bords opposés de la dalle sont simplement appuyés, deux autres restant libres:

_images/100000000000031C00000202AE88E7C796C3E04E.png

La raideur de flexion équivalente qui tient compte des aciers est: \({(\mathit{EI})}_{\mathit{éq}}=\frac{{E}_{b}l{h}^{3}}{12}+2{E}_{a}{a}_{x}l{e}_{z}^{2}\) , soit ici: \({(\mathit{EI})}_{\mathit{éq}}=10.111{\mathit{MNm}}^{2}\) .

La solution élastique se calcule en théorie de poutres pour une valeur de pression équivalente \(p'=\mathrm{pl}\) . On obtient les valeurs des moments en configuration «plaque » par division par la largeur de la dalle \(l\) .

Grandeur au centre

Expression

Flèche au centre sous pression surfacique

\(w(l/2)=\frac{5p'{l}^{4}}{384{(\mathit{EI})}_{\mathit{éq}}}\)

Courbure

\({\kappa}_{xx}(l/2)=\frac{p'{l}^{2}}{8{(\mathit{EI})}_{\mathit{éq}}}\)

Deformation

\({\varepsilon}_{xx}={\kappa}_{xx}\frac{h}{2}\)

Moment global (en poutre)

\(M(l/2)=p'{l}^{2}/8\)

Moment global (en plaque)

\(M(l/2)=p{l}^{2}/8\)

2.2. Résultats de référence#

Pour les modélisations A et B dans lesquelles on valide la loi GLRC_DAMA avec les éléments DKTG:

  • Flèche au centre sous pression surfacique: \(w=2,433.{10}^{-4}m\)

  • Courbure: \(k=7,210.{10}^{-4}{m}^{-1}\)

  • Déformation: \({\epsilon}_{xx}=-0.4326.{10}^{-4}\) sur la peau inférieure

  • Moment global (en poutre): \(M=7290\mathit{Nm}\)

  • Moment global (en plaque): \(M=4050\mathit{Nm}/\mathit{ml}\)

Pour les modélisations C et D dans lesquelles on valide la loi ELAS avec les éléments Q4GG:

  • Flèche au centre sous pression surfacique: \(w=2,658.{10}^{-4}m\)

  • Courbure: \(k=7,878.{10}^{-4}{m}^{-1}\)

  • Déformation: \({\epsilon}_{xx}=-0.47269.{10}^{-4}\) sur la peau inférieure

  • Moment global (en poutre): \(M=7290\mathrm{Nm}\)

  • Moment global (en plaque): \(M=4050\mathrm{Nm}/\mathrm{ml}\)

2.3. Incertitude sur la solution#

Solution analytique.

2.4. Référence bibliographique#

[1] KOECHLIN P., MOULIN S., «  Modèle de comportement global des plaques en béton armé sous chargement dynamique de flexion : Loi GLRC », Note EDF/R&D/AMA HT-62/01/028A.