Solution de référence
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Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence
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Les relations élastiques, reliant les efforts membranaires :math:`N` et de flexion :math:`M` aux déformations membranaires :math:`\varepsilon` et les courbures :math:`\kappa` et tenant compte de deux grilles symétriques, s’écrivent:

:math:`N=(\frac{{E}_{b}h}{1-{\nu}_{b}^{2}}\left[\begin{array}{ccc}1& {\nu}_{b}& 0\\ {\nu}_{b}& 1& 0\\ 0& 0& \frac{1-{\nu}_{b}}{2}\end{array}\right]+2{E}_{a}\left[\begin{array}{ccc}{a}_{x}& 0& 0\\ 0& {a}_{y}& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right])\varepsilon`

:math:`M=(\frac{{E}_{b}{h}^{3}}{12(1-{\nu}_{b}^{2})}\left[\begin{array}{ccc}1& {\nu}_{b}& 0\\ {\nu}_{b}& 1& 0\\ 0& 0& \frac{1-{\nu}_{b}}{2}\end{array}\right]+2{E}_{a}{e}_{z}^{2}\left[\begin{array}{ccc}{a}_{x}& 0& 0\\ 0& {a}_{y}& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right])\kappa`

S’agissant d’une configuration poutre, on affecte au béton un coefficient de Poisson égal à 0 pour annuler toute flexion dans la direction perpendiculaire. Deux bords opposés de la dalle sont simplement appuyés, deux autres restant libres:


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| .. image:: images/100000000000031C00000202AE88E7C796C3E04E.png | La raideur de flexion équivalente qui tient compte des aciers est:                             |
|     :width: 2.6591in                                           | :math:`{(\mathit{EI})}_{\mathit{éq}}=\frac{{E}_{b}l{h}^{3}}{12}+2{E}_{a}{a}_{x}l{e}_{z}^{2}` , |
|     :height: 1.6571in                                          | soit ici: :math:`{(\mathit{EI})}_{\mathit{éq}}=10.111{\mathit{MNm}}^{2}` .                     |
|                                                                |                                                                                                |
|                                                                |                                                                                                |
| .. _RefImage_100000000000031C00000202AE88E7C796C3E04E.png:     |                                                                                                |
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|                                                                |                                                                                                |
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La solution élastique se calcule en théorie de poutres pour une valeur de pression équivalente :math:`p'=\mathrm{pl}` . On obtient les valeurs des moments en configuration «plaque » par division par la largeur de la dalle :math:`l` .


.. csv-table::

    "Grandeur au centre", "Expression"
    "Flèche au centre sous pression surfacique", ":math:`w(l/2)=\frac{5p'{l}^{4}}{384{(\mathit{EI})}_{\mathit{éq}}}`"
    "Courbure", ":math:`{\kappa}_{xx}(l/2)=\frac{p'{l}^{2}}{8{(\mathit{EI})}_{\mathit{éq}}}`"
    "Deformation", ":math:`{\varepsilon}_{xx}={\kappa}_{xx}\frac{h}{2}`"
    "Moment global (en poutre)", ":math:`M(l/2)=p'{l}^{2}/8`"
    "Moment global (en plaque)", ":math:`M(l/2)=p{l}^{2}/8`"



Résultats de référence
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Pour les modélisations A et B dans lesquelles on valide la loi GLRC_DAMA avec les éléments DKTG:


*   Flèche au centre sous pression surfacique: :math:`w=2,433.{10}^{-4}m`


*   Courbure: :math:`k=7,210.{10}^{-4}{m}^{-1}`


*   Déformation: :math:`{\epsilon}_{xx}=-0.4326.{10}^{-4}` sur la peau inférieure


*   Moment global (en poutre): :math:`M=7290\mathit{Nm}`


*   Moment global (en plaque): :math:`M=4050\mathit{Nm}/\mathit{ml}`


*

Pour les modélisations C et D dans lesquelles on valide la loi ELAS avec les éléments Q4GG:


*   Flèche au centre sous pression surfacique: :math:`w=2,658.{10}^{-4}m`


*   Courbure: :math:`k=7,878.{10}^{-4}{m}^{-1}`


*   Déformation: :math:`{\epsilon}_{xx}=-0.47269.{10}^{-4}` sur la peau inférieure


*   Moment global (en poutre): :math:`M=7290\mathrm{Nm}`


*   Moment global (en plaque): :math:`M=4050\mathrm{Nm}/\mathrm{ml}`


Incertitude sur la solution
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Solution analytique.


Référence bibliographique
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[:ref:`1 <1>`]    KOECHLIN P., MOULIN S., " Modèle de comportement global des plaques en béton armé sous chargement dynamique de flexion : Loi GLRC", Note EDF/R&D/AMA HT-62/01/028A.