2. Solution de référence#
2.1. Méthode utilisée pour la solution de référence#
La solution de référence pour le facteur d’intensité de contraintes du mode I \(K_I\) s’exprime de la façon suivante [1]:
\(K_I=\sigma \sqrt{\pi a}F\left(\frac{a}{W}\right)\)
avec \(F\left(\frac{a}{W}\right)=1,122-0,231\left(\frac{a}{W}\right)+10,550{\left(\frac{a}{W}\right)}^{2}-21,710{\left(\frac{a}{W}\right)}^{3}+30,382{\left(\frac{a}{W}\right)}^{4}\)
Cette expression de \(F\) provient d’une régression par moindres carrés (Gross 1964 ; Brown 1966). La précision annoncée de cette formule est de 0,5% pour \(\frac{a}{W}{\le}0,6\).
Remarque: dans [1] sont données d’autres formules pour \(F\left(a/W\right)\), par exemple une formule due à Tada (1973) qui affiche une précision inférieure à 0,5% pour n’importe quel ratio \(a/W\).
Le taux de restitution d’énergie \(G\) s’obtient grâce à la formule d’Irwin : \(G=\frac{1-{\nu}^2}{E} K_I^2\). La précision attendue pour la valeur de référence de \(G\) sera inférieure à 1%.
2.2. Résultats de référence#
Avec les valeurs numériques de l’énoncé, on trouve :
\(F\left(a/W\right)\approx 1,186\)
\({K}_{I}\approx 6,646 \,\mathrm{MPa.\sqrt{m}}\)
\(G\approx 191,4 \,\mathrm{J.m^{-2}}\)
Remarque : en utilisant la formule alternative de Tada 1973, on obtient \(F\left(a/W\right)\approx 1,196\) , soit un écart entre les 2 références d’environ 0,8%. Compte-tenu des précisions annoncées pour chaque référence, on en déduit que la valeur théorique se situe entre ces 2 références. Il serait donc certainement plus judicieux de choisir comme valeur de référence la valeur moyenne \(F\left(a/W\right)\approx 1,191\) . Toutefois dans la suite, on considère comme solution de référence celle provenant de la régression par moindres carrés (Gross 1964 ; Brown 1966).
2.3. Références bibliographiques#
Tada, P. Paris, G. Irwin, The stress analysis of cracks handbook, 3rd edition, 2000