2. Solution de référence#
2.1. Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence#
Solution analytique [bib1] et [bib2].
2.1.1. Cas encastré-libre, chargements unitaires à l’extrémité#
Traction simple \({u}_{x}=\frac{{F}_{x}L}{ES}\)
Flexion simple \({u}_{y}=\frac{{F}_{y}{L}^{3}(4+{\phi }_{y})}{12E{I}_{z}}\) \({\theta}_{z}=\frac{{L}^{2}{F}_{y}}{2E{I}_{z}}\) \({\phi }_{y}=\frac{12E{I}_{y}}{{L}^{2}G{A}_{y}^{'}}\)
Flexion simple \({u}_{z}=\frac{{F}_{z}{L}^{3}(4+{\phi }_{z})}{12E{I}_{y}}\) \({\theta}_{y}=\frac{-{L}^{2}{F}_{z}}{2E{I}_{y}}\) \({\phi }_{z}=\frac{12E{I}_{z}}{{L}^{2}G{A}_{z}^{'}}\)
Torsion \({\theta}_{x}=\frac{{M}_{x}L}{G{J}_{x}}\)
Flexion pure \({u}_{z}=-\frac{{M}_{y}{L}^{2}}{2E{I}_{y}}\) \({\theta}_{y}=\frac{{M}_{y}L}{E{I}_{y}}\)
Flexion pure \({u}_{y}=\frac{{M}_{z}{L}^{2}}{2E{I}_{z}}\) \({\theta}_{z}=\frac{{M}_{z}L}{E{I}_{z}}\)
Remarque 1:
Pour la section cornière, comme le centre de cisaillement n’est pas confondu avec le centre de gravité \(({e}_{y}\ne 0)\) , il faut ajouter le moment de torsion: \({M}_{x}={F}_{z}{e}_{y}\) au chargement \({F}_{z}=1\) .
Ceci modifie le déplacement:
\({u}_{z}=\frac{{F}_{z}{L}^{3}(4+{\phi }_{z})}{12E{I}_{y}}+{\theta}_{x}{e}_{y}\) \({\theta}_{x}=\frac{{M}_{x}L}{G{J}_{x}}\)
De la même façon, le chargement \({M}_{x}=1\) entraîne un déplacement \({u}_{z}={\theta}_{x}{e}_{y}\) .
Chargement réparti linéaire:
\(\begin{array}{cc}{u}_{y}(x)=\frac{px}{360LEI}(3{x}^{4}-10{L}^{2}{x}^{2}+7{L}^{4})& {u}_{y}^{\max}=\frac{0.00652p{L}^{4}}{EI}\\ & \mathrm{en}x=0.519L\end{array}\)
Remarque 2:
En ce qui concerne la modélisation A, la poutre est portée par le vecteur \({e}_{1}=\frac{1}{\sqrt{3}}(\begin{array}{}1\\ 1\\ 1\end{array})\) . Les autres vecteurs du repère local sont: \({e}_{2}=\frac{1}{\sqrt{2}}(\begin{array}{}-1\\ 1\\ 0\end{array})\) et \({e}_{3}=\frac{1}{\sqrt{6}}(\begin{array}{c}-1\\ -1\\ 2\end{array})\)
Les composantes du vecteur déplacement dans le repère global sont obtenues par:
\({u}_{G}=(\begin{array}{ccc}\frac{1}{\sqrt{3}}& \frac{-1}{\sqrt{2}}& \frac{-1}{\sqrt{6}}\\ \frac{1}{\sqrt{3}}& \frac{1}{\sqrt{2}}& \frac{-1}{\sqrt{6}}\\ \frac{1}{\sqrt{3}}& 0& \frac{2}{\sqrt{6}}\end{array}){u}_{\text{local}}\)
Efforts généralisés et contraintes en \(O\) :
\(N(O)={F}_{x}\) \({\sigma}_{xx}=\frac{N}{S}\)
\({M}_{z}(O)={T}_{y}L\) \({T}_{y}={F}_{y}\) \({\sigma}_{xx}(y)=\frac{{M}_{z}y}{{I}_{z}}\) \({\sigma}_{xy}=\frac{{T}_{y}}{{k}_{y}S}\)
\({M}_{y}(O)=-{T}_{z}L\) \({T}_{z}(O)={F}_{z}\) \({\sigma}_{xx}(y)=\frac{-{M}_{y}z}{{I}_{y}}\) \({\sigma}_{xz}=\frac{{T}_{z}}{{k}_{z}S}\)
\({M}_{x}(0)={M}_{x}(B)\) \({\sigma}_{xy}={\sigma}_{xz}=\frac{{M}_{x}{R}_{T}}{{J}_{x}}\)
\({M}_{y}(0)={M}_{y}(B)\) \({\sigma}_{xx}(z)=\frac{{M}_{y}z}{{I}_{y}}\)
\({M}_{z}(0)={M}_{z}(B)\) \({\sigma}_{xx}(y)=\frac{{M}_{y}y}{{I}_{z}}\)
2.1.2. Cas chargement transversal réparti linéaire#
\(y\) \({\mathrm{f}}_{y}.L\)
\(x\)
\(O\) \(B\)
L’équilibre en rotation autour de \(O\) donne la valeur de la réaction, d’appui en \(B\) :
\({R}_{\mathit{By}}=-{\int}_{0}^{L}{\mathrm{f}}_{y}.{x}^{2}\mathit{dx}=-\frac{1}{3}{\mathrm{f}}_{y}.{L}^{2}=-12000\) ; puis: \({R}_{\mathit{Oy}}=-6000\) .
Puis on a:
\(\begin{array}{ccc}{M}_{z}(x)=\frac{-1000}{6}\left({L}^{2}x-{x}^{3}\right)& {V}_{y}(x)=\frac{1000{L}^{2}}{6}-\frac{1000{x}^{2}}{2}& {\sigma}_{xx}^{max}=\frac{{M}_{z}^{max}R}{{I}_{z}}\\ \phantom{\rule{2em}{0ex}}& \phantom{\rule{2em}{0ex}}& \mathit{en}x=\frac{L\sqrt{3}}{3}\end{array}\)
2.2. Résultats de référence#
2.2.1. Cas encastré-libre, chargements unitaires à l’extrémité#
Déplacement du point \(B\) ,
Efforts généralisés au point \(O\) ,
Contraintes du point \(O\) .
2.2.2. Cas chargement transversal réparti linéaire#
Efforts tranchant et réactions transversales au point \(O\) et au point \(B\) . Moment fléchissant maximal au point d’abscisse \(x=\frac{L\sqrt{3}}{3}\) .
2.3. Incertitude sur la solution#
Solution analytique.
2.4. Références bibliographiques#
J.L. BATOZ, G. DHATT: « Modélisation des structures par éléments finis » - Volume 2 Ed.HERMES.
N.D. PIKLEY : « Formulas for Stress, Stain & Structural Matrices » Ed. John Wiley & Sons.