Solution de référence
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Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence
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Solution analytique [:ref:`bib1 <bib1>`] et [:ref:`bib2 <bib2>`].


Cas encastré-libre, chargements unitaires à l’extrémité
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Traction simple     :math:`{u}_{x}=\frac{{F}_{x}L}{ES}`

Flexion simple     :math:`{u}_{y}=\frac{{F}_{y}{L}^{3}(4+{\phi }_{y})}{12E{I}_{z}}`     :math:`{\theta}_{z}=\frac{{L}^{2}{F}_{y}}{2E{I}_{z}}`     :math:`{\phi }_{y}=\frac{12E{I}_{y}}{{L}^{2}G{A}_{y}^{'}}`

Flexion simple     :math:`{u}_{z}=\frac{{F}_{z}{L}^{3}(4+{\phi }_{z})}{12E{I}_{y}}`     :math:`{\theta}_{y}=\frac{-{L}^{2}{F}_{z}}{2E{I}_{y}}`     :math:`{\phi }_{z}=\frac{12E{I}_{z}}{{L}^{2}G{A}_{z}^{'}}`

Torsion        :math:`{\theta}_{x}=\frac{{M}_{x}L}{G{J}_{x}}`

Flexion pure    :math:`{u}_{z}=-\frac{{M}_{y}{L}^{2}}{2E{I}_{y}}`     :math:`{\theta}_{y}=\frac{{M}_{y}L}{E{I}_{y}}`

Flexion pure    :math:`{u}_{y}=\frac{{M}_{z}{L}^{2}}{2E{I}_{z}}`     :math:`{\theta}_{z}=\frac{{M}_{z}L}{E{I}_{z}}`

**Remarque 1:**

*Pour la section cornière, comme le centre de cisaillement n'est pas confondu avec le centre de gravité* :math:`({e}_{y}\ne 0)` *, il faut ajouter le moment de torsion:* :math:`{M}_{x}={F}_{z}{e}_{y}` *au chargement* :math:`{F}_{z}=1` *.*

*Ceci modifie le déplacement:*

:math:`{u}_{z}=\frac{{F}_{z}{L}^{3}(4+{\phi }_{z})}{12E{I}_{y}}+{\theta}_{x}{e}_{y}` :math:`{\theta}_{x}=\frac{{M}_{x}L}{G{J}_{x}}`

*De la même façon, le chargement* :math:`{M}_{x}=1` *entraîne un déplacement* :math:`{u}_{z}={\theta}_{x}{e}_{y}` .

Chargement réparti linéaire:

:math:`\begin{array}{cc}{u}_{y}(x)=\frac{px}{360LEI}(3{x}^{4}-10{L}^{2}{x}^{2}+7{L}^{4})& {u}_{y}^{\max}=\frac{0.00652p{L}^{4}}{EI}\\ & \mathrm{en}x=0.519L\end{array}`

**Remarque 2:**

*En ce qui concerne la modélisation A, la poutre est portée par le vecteur* :math:`{e}_{1}=\frac{1}{\sqrt{3}}(\begin{array}{}1\\ 1\\ 1\end{array})` *. Les autres vecteurs du repère local sont:* :math:`{e}_{2}=\frac{1}{\sqrt{2}}(\begin{array}{}-1\\ 1\\ 0\end{array})` et :math:`{e}_{3}=\frac{1}{\sqrt{6}}(\begin{array}{c}-1\\ -1\\ 2\end{array})`

*Les composantes du vecteur déplacement dans le repère global sont obtenues par:*

:math:`{u}_{G}=(\begin{array}{ccc}\frac{1}{\sqrt{3}}& \frac{-1}{\sqrt{2}}& \frac{-1}{\sqrt{6}}\\ \frac{1}{\sqrt{3}}& \frac{1}{\sqrt{2}}& \frac{-1}{\sqrt{6}}\\ \frac{1}{\sqrt{3}}& 0& \frac{2}{\sqrt{6}}\end{array}){u}_{\text{local}}`

Efforts généralisés et contraintes en :math:`O` :

:math:`N(O)={F}_{x}`     :math:`{\sigma}_{xx}=\frac{N}{S}`

:math:`{M}_{z}(O)={T}_{y}L`     :math:`{T}_{y}={F}_{y}`     :math:`{\sigma}_{xx}(y)=\frac{{M}_{z}y}{{I}_{z}}`     :math:`{\sigma}_{xy}=\frac{{T}_{y}}{{k}_{y}S}`

:math:`{M}_{y}(O)=-{T}_{z}L`     :math:`{T}_{z}(O)={F}_{z}`     :math:`{\sigma}_{xx}(y)=\frac{-{M}_{y}z}{{I}_{y}}`     :math:`{\sigma}_{xz}=\frac{{T}_{z}}{{k}_{z}S}`

:math:`{M}_{x}(0)={M}_{x}(B)`     :math:`{\sigma}_{xy}={\sigma}_{xz}=\frac{{M}_{x}{R}_{T}}{{J}_{x}}`

:math:`{M}_{y}(0)={M}_{y}(B)`     :math:`{\sigma}_{xx}(z)=\frac{{M}_{y}z}{{I}_{y}}`

:math:`{M}_{z}(0)={M}_{z}(B)`     :math:`{\sigma}_{xx}(y)=\frac{{M}_{y}y}{{I}_{z}}`


Cas chargement transversal réparti linéaire
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:math:`y`                                             :math:`{\mathrm{f}}_{y}.L`

                                                 :math:`x`

:math:`O`                                             :math:`B`

L’équilibre en rotation autour de :math:`O` donne la valeur de la réaction, d’appui en :math:`B` :

         :math:`{R}_{\mathit{By}}=-{\int}_{0}^{L}{\mathrm{f}}_{y}.{x}^{2}\mathit{dx}=-\frac{1}{3}{\mathrm{f}}_{y}.{L}^{2}=-12000` ; puis: :math:`{R}_{\mathit{Oy}}=-6000` .

Puis on a:

:math:`\begin{array}{ccc}{M}_{z}(x)=\frac{-1000}{6}\left({L}^{2}x-{x}^{3}\right)& {V}_{y}(x)=\frac{1000{L}^{2}}{6}-\frac{1000{x}^{2}}{2}& {\sigma}_{xx}^{max}=\frac{{M}_{z}^{max}R}{{I}_{z}}\\ \phantom{\rule{2em}{0ex}}& \phantom{\rule{2em}{0ex}}& \mathit{en}x=\frac{L\sqrt{3}}{3}\end{array}`


Résultats de référence
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Cas encastré-libre, chargements unitaires à l’extrémité
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Déplacement du point :math:`B` ,

Efforts généralisés au point :math:`O` ,

Contraintes du point :math:`O` .


Cas chargement transversal réparti linéaire
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Efforts tranchant et réactions transversales au point :math:`O` et au point :math:`B` . Moment fléchissant maximal au point d’abscisse :math:`x=\frac{L\sqrt{3}}{3}` .


Incertitude sur la solution
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Solution analytique.


Références bibliographiques
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1.  J.L. BATOZ, G. DHATT: "Modélisation des structures par éléments finis" - Volume 2 Ed.HERMES.


2.  N.D. PIKLEY : "Formulas for Stress, Stain & Structural Matrices" Ed. John Wiley & Sons.