2. Solution de référence#

2.1. Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence#

Si la poutre est modélisée par une poutre d’Euler-Bernoulli et par un seul élément fini, le problème harmonique peut s’écrire de la façon suivante:

problème en traction:

\((1+i\alpha \omega )\frac{\mathit{ES}}{L}u(B)-{\omega}^{2}\frac{\rho SL}{6}u(B)={F}_{x}(B)\)

d’où \(u(B)=\frac{F(B)}{\frac{\mathit{ES}}{L}-{\omega}^{2}\frac{\rho SL}{6}+i\alpha \omega \frac{\mathit{ES}}{L}}\)

problème en flexion:

\(\left[-{\omega}^{2}\left[\begin{array}{cc}\frac{13L}{35}& \frac{-11{L}^{2}}{210}\\ \frac{-11{L}^{2}}{210}& \frac{{L}^{3}}{105}\end{array}\right]+(1+i\alpha \omega )\frac{12{\mathit{EI}}_{y}}{{L}^{3}}\left[\begin{array}{cc}1& \frac{-L}{2}\\ \frac{-L}{2}& \frac{{L}^{2}}{3}\end{array}\right]\right]\left[\begin{array}{c}v(B)\\ \theta (B)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{F}_{y}(B)\\ 0\end{array}\right]\)

Remarque:

Si le matériau ne présente pas d’amortissement, on a alors : AMOR_ALPHA = \(\alpha =0\) .

Les efforts au point \(B\) se calculent de la manière suivante:

problème en traction:

\(N(B)=\left(\frac{\mathit{ES}}{L}-{\omega}^{2}\frac{\rho SL}{6}\right)u(B)\)

problème en flexion:

\(\left[\begin{array}{c}\mathit{VY}(B)\\ \mathit{MFZ}(B)\end{array}\right]=\left[-{\omega}^{2}\left[\begin{array}{cc}\frac{13L}{35}& \frac{-11{L}^{2}}{210}\\ \frac{-11{L}^{2}}{210}& \frac{{L}^{3}}{105}\end{array}\right]+\frac{12{\mathit{EI}}_{y}}{{L}^{3}}\left[\begin{array}{cc}1& \frac{-L}{2}\\ \frac{-L}{2}& \frac{{L}^{2}}{3}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}v(B)\\ \theta (B)\end{array}\right]\right]\)

On résout analytiquement les systèmes \(2\times 2\) pour obtenir la solution.

2.2. Résultats de référence#

Les résultats de référence sont les déplacements, les vitesses, les accélérations et les efforts généralisés obtenus au point \(B\) lors de l’analyse harmonique.

2.3. Remarque pour la modélisation B#

Pour la modélisation B, on veut tester dans le cas du problème en traction le mot-clé FORCE_POUTRE qui permet d’appliquer des efforts répartis. Pour obtenir la même solution que la poutre soumise à force nodale en son extrémité, la relation entre l’effort réparti constant et la force nodale est:

\({F}_{x}(B)=\frac{fL}{2}\)

Avec les valeurs données au paragraphe 1.3, on a: \(f=600N/m\)

2.4. Incertitude sur la solution#

Si les hypothèses sont vérifiées (poutre d’Euler-Bernoulli), la solution est analytique.

2.5. Références bibliographiques#

  1. [R3.08.01]Éléments de poutres « exacts » (droits et courbes).