Solution de référence
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Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence
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Si la poutre est modélisée par une poutre d'Euler-Bernoulli et par un seul élément fini, le problème harmonique peut s'écrire de la façon suivante:

**problème en traction:**

:math:`(1+i\alpha \omega )\frac{\mathit{ES}}{L}u(B)-{\omega}^{2}\frac{\rho SL}{6}u(B)={F}_{x}(B)`

d'où :math:`u(B)=\frac{F(B)}{\frac{\mathit{ES}}{L}-{\omega}^{2}\frac{\rho SL}{6}+i\alpha \omega \frac{\mathit{ES}}{L}}`

**problème en flexion:**

:math:`\left[-{\omega}^{2}\left[\begin{array}{cc}\frac{13L}{35}& \frac{-11{L}^{2}}{210}\\ \frac{-11{L}^{2}}{210}& \frac{{L}^{3}}{105}\end{array}\right]+(1+i\alpha \omega )\frac{12{\mathit{EI}}_{y}}{{L}^{3}}\left[\begin{array}{cc}1& \frac{-L}{2}\\ \frac{-L}{2}& \frac{{L}^{2}}{3}\end{array}\right]\right]\left[\begin{array}{c}v(B)\\ \theta (B)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{F}_{y}(B)\\ 0\end{array}\right]`

**Remarque:**

*Si le matériau ne présente pas d'amortissement, on a alors :* AMOR_ALPHA *=* :math:`\alpha =0` *.*

Les efforts au point :math:`B` se calculent de la manière suivante:

**problème en traction:**

:math:`N(B)=\left(\frac{\mathit{ES}}{L}-{\omega}^{2}\frac{\rho SL}{6}\right)u(B)`

**problème en flexion:**

:math:`\left[\begin{array}{c}\mathit{VY}(B)\\ \mathit{MFZ}(B)\end{array}\right]=\left[-{\omega}^{2}\left[\begin{array}{cc}\frac{13L}{35}& \frac{-11{L}^{2}}{210}\\ \frac{-11{L}^{2}}{210}& \frac{{L}^{3}}{105}\end{array}\right]+\frac{12{\mathit{EI}}_{y}}{{L}^{3}}\left[\begin{array}{cc}1& \frac{-L}{2}\\ \frac{-L}{2}& \frac{{L}^{2}}{3}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}v(B)\\ \theta (B)\end{array}\right]\right]`

On résout analytiquement les systèmes :math:`2\times 2` pour obtenir la solution.


Résultats de référence
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Les résultats de référence sont les déplacements, les vitesses, les accélérations et les efforts généralisés obtenus au point :math:`B` lors de l'analyse harmonique.


Remarque pour la modélisation B
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Pour la modélisation B, on veut tester dans le cas du problème en traction le mot-clé FORCE_POUTRE qui permet d’appliquer des efforts répartis. Pour obtenir la même solution que la poutre soumise à force nodale en son extrémité, la relation entre l’effort réparti constant et la force nodale est:

:math:`{F}_{x}(B)=\frac{fL}{2}`

Avec les valeurs données au paragraphe 1.3, on a: :math:`f=600N/m`


Incertitude sur la solution
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Si les hypothèses sont vérifiées (poutre d'Euler-Bernoulli), la solution est analytique.


Références bibliographiques
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1.  [:ref:`R3.08.01 <R3.08.01>`]Éléments de poutres "exacts" (droits et courbes).