2. Solutions de référence#

2.1. Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence#

  • Solution analytique:

Une solution analytique de ce problème existe. Elle est décrite dans[1] :

Dans le cas présent, la solution par superposition modale de ce problème s’écrit:

\(u(x,t)=\frac{{P}_{0}}{\mathit{EA}}x-\frac{8{P}_{0}I}{{\pi}^{2}\mathit{EA}}\underset{s=1}{\overset{\infty}{\Sigma}}\left[\frac{{(-1)}^{s-1}}{{(\mathrm{2s}-1)}^{2}}\sin((\mathrm{2s}-1)\frac{\pi x}{\mathrm{2I}})\cos((\mathrm{2s}-1)\frac{\pi c}{\mathrm{2I}}t)\right]\)

avec : \(c=\sqrt{\frac{\mathrm{EA}}{m}}\) : vitesse de propagation d’onde dans la barre

  • Solution de référence retenue:

La solution analytique faisant intervenir une somme infinie sur les modes, il est préférable que la solution de référence et la solution avec projection correspondent à la même configuration, avec le même nombre de modes.

De plus, pour éviter des problèmes liés à la discrétisation du maillage numérique, la solution de référence retenue est la réponse fournie par le calcul direct réalisé avec Code_Aster avec la commande DYNA_TRAN_MODAL. On simule le déplacement, la vitesse et la contrainte en quelques points de structure. Les réponses simulées ont été versées dans un fichier au format universel (IDEAS).

2.2. Résultats de référence#

Pour la modélisation A, la comparaison des résultats porte sur les déplacements, vitesses, accélérations, déformations et contraintes suivant l’axe \(x\) , des nœuds \(\mathrm{N2}\) et \(\mathit{N4}\) à 3 instants différents. \(\mathrm{N4}\) correspond à un nœud de mesure et \(\mathrm{N2}\) n’en est pas un. On vérifie également si l’on obtient exactement la composante du champ mesuré après expansion de la mesure sur le modèle numérique. On compare pour cela la composante du champ étendu suivant la direction d’observation (déplacement \(\mathrm{N3}\) suivant DX, vitesse \(\mathit{N5}\) suivant DX et SIXX au nœud \(\mathrm{N4}\) ).

Pour la modélisation B, la comparaison des résultats porte sur les contraintes des nœuds \(\mathit{N3}\) et \(\mathrm{N4}\) à 3 instants différents.

2.3. Incertitude sur la solution#

La référence choisie permet d’écarter les incertitudes liées à la discrétisation du maillage numérique. Le nombre de modes de la base de projection est égal au nombre de mesures, donc la solution de l’inversion est exacte (par opposition à une solution approchée d’un problème inverse généralisé).

Dans le cas où la projection se fait sur un concept de type [mode_meca], les bases modales de la solution de référence et de la solution obtenue par projection sont identiques, les réponses en déplacements, déformations et contraintes obtenues doivent donc être semblables aux réponses de référence. Quelques erreurs d’approximation peuvent apparaître sur les vitesses et accélérations qui sont déterminées par un schéma linéaire en temps.

Dans le cas où la projection se fait sur un concept de type [base_modale], les bases modales de la solution de référence et de la solution obtenue par projection contiennent le même nombre de modes mais sont différentes. Le calcul de référence n’étant pas possible sur un concept de type [base_modale], la comparaison des résultats porte uniquement sur des réponses correspondant à des mesures fournies.

2.4. Bibliographie#

    1. GERADIN, D. RIXEN: Théorie des vibrations - Application à la dynamique des structures - Edition MASSON 1993