2. Solution de référence#

2.1. Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence#

La recherche de la réponse transitoire de ce problème à amortissement non proportionnel peut être menée par intégration numérique dans l’espace réel :

\([M]\lbrace \ddot{{u}_{n}}\rbrace +[C]\lbrace \dot{{u}_{n}}\rbrace +[K]\lbrace {u}_{n}\rbrace =\lbrace F\rbrace\)

Pour cela, la réponse a été calculée avec deux codes industriels :

  • PERMAS : Schéma d’intégration de Newmark (\(\alpha =0,25\) et \(\delta =0,5\) ) \(\Delta t={10}^{-\mathrm{4s}}\) ;

  • ABAQUS : Schéma d’intégration de Hilbert-Hugues-Taylor [bib1] (\(\alpha =–0,05\) ) \(\Delta t={10}^{-\mathrm{4s}}\) ;

et la méthode d’intégration de \(\beta\) -Newmark améliorée [bib2] :

\(\left[\frac{[M]}{\Delta {t}^{2}}+\frac{[C]}{2\Delta t}+\frac{[K]}{3}\right]\left\lbrace {u}_{n+2}\right\rbrace =\left[\frac{\lbrace {F}_{n+2}\rbrace +\lbrace {F}_{n+1}\rbrace +\lbrace {F}_{n}\rbrace }{3}\right]+\left[\frac{2[M]}{\Delta {t}^{2}}-\frac{[K]}{3}\right]\left\lbrace {u}_{n+1}\right\rbrace +\left[\frac{[M]}{\Delta {t}^{2}}+\frac{[C]}{2\Delta t}-\frac{[K]}{3}\right]\left\lbrace {u}_{n}\right\rbrace\)

où \(n\) , \(n+1\) , \(n+2\) désignent respectivement les calculs effectués aux temps \({t}_{n}\) , \({t}_{n+1}={t}_{n}+\Delta t\) et \({t}_{n+2}={t}_{n}+2\Delta t\) où \(\Delta t\) est l’incrément de temps retenu.

Pour démarrer, on prend :

  • \({u}_{0}\) et \({u}_{-1}={u}_{0}-\Delta t\dot{{u}_{0}}\)

  • \({F}_{-1}=2{F}_{0}-{F}_{1}\)

Le pas de temps adopté est \(\Delta t={10}^{-\mathrm{5s}}\) .

2.2. Résultats de référence#

Déplacement et vitesse du point extrémité \(B\) .

2.3. Incertitude sur la solution#

Moyenne de solutions numériques.

2.4. Références bibliographiques#

  1. H.M. HILBERT, T.J.R HUGUES and R.L. TAYLOR «Improved numerical dissipation for time integration algorithms in structural dynamics» Earthquake Engineering and Structural Dynamics, Vol.5, 1977, pp. 283-292

  2. N.M. NEWMARK «A method of computation for structural dynamics» Proceeding ASCE J.Eng.Mech. DIV E-3, July 1959, pp. 67-94