Solution de référence
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Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence
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La recherche de la réponse transitoire de ce problème à amortissement non proportionnel peut être menée par intégration numérique dans l’espace réel :

:math:`[M]\lbrace \ddot{{u}_{n}}\rbrace +[C]\lbrace \dot{{u}_{n}}\rbrace +[K]\lbrace {u}_{n}\rbrace =\lbrace F\rbrace`

Pour cela, la réponse a été calculée avec deux codes industriels :


*   PERMAS : Schéma d’intégration de Newmark (:math:`\alpha =0,25`  et :math:`\delta =0,5` ) :math:`\Delta t={10}^{-\mathrm{4s}}` ;


*   ABAQUS : Schéma d’intégration de Hilbert-Hugues-Taylor [:ref:`bib1 <bib1>`] (:math:`\alpha =–0,05` ) :math:`\Delta t={10}^{-\mathrm{4s}}` ;

et la méthode d’intégration de :math:`\beta` -Newmark améliorée [:ref:`bib2 <bib2>`] :

:math:`\left[\frac{[M]}{\Delta {t}^{2}}+\frac{[C]}{2\Delta t}+\frac{[K]}{3}\right]\left\lbrace {u}_{n+2}\right\rbrace =\left[\frac{\lbrace  {F}_{n+2}\rbrace  +\lbrace  {F}_{n+1}\rbrace  +\lbrace  {F}_{n}\rbrace  }{3}\right]+\left[\frac{2[M]}{\Delta {t}^{2}}-\frac{[K]}{3}\right]\left\lbrace {u}_{n+1}\right\rbrace +\left[\frac{[M]}{\Delta {t}^{2}}+\frac{[C]}{2\Delta t}-\frac{[K]}{3}\right]\left\lbrace {u}_{n}\right\rbrace`

où :math:`n` , :math:`n+1` , :math:`n+2` désignent respectivement les calculs effectués aux temps :math:`{t}_{n}` , :math:`{t}_{n+1}={t}_{n}+\Delta t` et :math:`{t}_{n+2}={t}_{n}+2\Delta t` où :math:`\Delta t` est l’incrément de temps retenu.

Pour démarrer, on prend :


*   :math:`{u}_{0}` et :math:`{u}_{-1}={u}_{0}-\Delta t\dot{{u}_{0}}`


*   :math:`{F}_{-1}=2{F}_{0}-{F}_{1}`

Le pas de temps adopté est :math:`\Delta t={10}^{-\mathrm{5s}}` .


Résultats de référence
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Déplacement et vitesse du point extrémité :math:`B` .


Incertitude sur la solution
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Moyenne de solutions numériques.


Références bibliographiques
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1.  H.M. HILBERT, T.J.R HUGUES and R.L. TAYLOR «Improved numerical dissipation for time integration algorithms in structural dynamics» Earthquake Engineering and Structural Dynamics, Vol.5, 1977, pp. 283-292


2.  N.M. NEWMARK «A method of computation for structural dynamics» Proceeding ASCE J.Eng.Mech. DIV E-3, July 1959, pp. 67-94