2. Solution de référence#

2.1. Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence#

On calcule la réponse spectrale par superposition modale d’un système masses-ressorts soumis à deux excitations distinctes. On détermine le déplacement des masses et les réactions d’appui aux nœuds \(\mathrm{NO1}\) et \(\mathrm{NO4}\) suivant l’axe \(x\) .

On calcule analytiquement :

  • les fréquences propres \({f}_{i}\) ,

  • les vecteurs propres associés \({\phi }_{\text{Ni}}\) normalisés par rapport à la masse modale,

  • les modes statiques d’appuis \({\psi}_{j}\) du système,

  • les facteurs de participation modale \({P}_{ij}\) relatif aux appuis,

  • \({\mathrm{Rm}}_{ij}\) le maximum de la réponse de chaque mode à partir des spectres d’excitation,

  • \({\mathrm{Rc}}_{j}\) le terme de correction statique.

Ces calculs analytiques sont décrits dans le fichier Matlab sdld301.55.

2.2. Grandeur de référence#

  • matrice de rigidité \(K\)

\(K=\left[\begin{array}{cccc}k& -k& 0& 0\\ -k& \mathrm{3k}& -\mathrm{2k}& 0\\ 0& -\mathrm{2k}& \mathrm{3k}& -k\\ 0& 0& -k& k\end{array}\right]\)

\({K}^{p}=\left[\begin{array}{cccc}\mathrm{3k}& -\mathrm{2k}& -k& 0\\ -\mathrm{2k}& \mathrm{3k}& 0& -k\\ -k& 0& k& 0\\ 0& -k& 0& k\end{array}\right]\)

matrice partitionnée degrés de liberté de structure \(\mathrm{2,}3\) , degrés de liberté de support \(\mathrm{1,}4\)

\({K}^{p}=\left[\begin{array}{cc}{k}_{\mathrm{xx}}& {k}_{\mathrm{xs}}\\ {k}_{\mathrm{sx}}& {k}_{\mathrm{ss}}\end{array}\right]\), \({k}_{\mathrm{xx}}=\left[\begin{array}{cc}\mathrm{3k}& -\mathrm{2k}\\ -\mathrm{2k}& \mathrm{3k}\end{array}\right]\), \({k}_{\mathrm{xs}}=\left[\begin{array}{cc}-k& 0\\ 0& -k\end{array}\right]\)

  • matrice de masse \(M\)

\(M = \left[\begin{array}{cccc}0& 0& 0& 0\\ 0& m& 0& 0\\ 0& 0& m& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right]\)

matrice partitionnée degrés de liberté de structure \(\mathrm{2,}3\) , degrés de liberté de support \(\mathrm{1,}4\)

\({M}^{p}=\left[\begin{array}{cc}{m}_{\mathrm{xx}}& {m}_{\mathrm{xs}}\\ {m}_{\mathrm{sx}}& {m}_{\mathrm{ss}}\end{array}\right] =\left[\begin{array}{cccc}m& 0& 0& 0\\ 0& m& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right]\), \({m}_{\mathrm{xx}}=\left[\begin{array}{cc}\mathrm{m}& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& \mathrm{m}\end{array}\right]\), \({m}_{\mathrm{xs}}=\left[\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\end{array}\right]\)

  • calcul modal en base encastrée

\({k}_{\mathrm{xx}}=\left[\begin{array}{cc}\mathrm{3k}& -\mathrm{2k}\\ -\mathrm{2k}& \mathrm{3k}\end{array}\right]\), \({m}_{\mathrm{xx}}=\left[\begin{array}{cc}m& 0\\ 0& m\end{array}\right]\)

\(({k}_{\mathrm{xx}}-{\lambda }_{i}{m}_{\mathrm{xx}}){\phi }_{i, x}=0\),

où \({\lambda }_{i}={\omega }_{\mathrm{i}}^{2}\) sont les valeurs propres de la matrice \({m}_{\mathrm{xx}}^{-1} {k}_{\mathrm{xx}}^{}\). On a :

\({\lambda }_{1}=\frac{k}{m}\), \({\lambda }_{2}=\frac{\mathrm{5k}}{m}\)

  • fréquences propres :

\(\Rightarrow \text{}{\mathrm{freq}}_{1}=\frac{{\omega }_{\mathrm{1}}}{2\pi };{\mathrm{freq}}_{2}=\frac{{\omega }_{\mathrm{2}}}{2\pi }\)

\(\{{\phi }_{i, x}\} \in \mathbb{R}^{2 \times 1}\) sont les modes propres dans la base des degrés de liberté liés à la structure (ddl libres) : \({\phi }_{1, x}=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)\), \({\phi }_{2, x}=\left(\begin{array}{c}1\\ -1\end{array}\right)\)

Les degrés de liberté liés au support sont à déplacements nuls.

  • modes propres non normés \(\{{\phi }_{i}\} \in \mathbb{R}^{4 \times 1}\) dans le repère global :

\({\phi }_{1}=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 1\\ 0\end{array}\right)\), \({\phi }_{2}=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ -1\\ 0\end{array}\right)\)

  • masses modales généralisées : \({\mu }_{i}{=}^{T}{\phi }_{i}M{\phi }_{i}\)

  • \({\mu }_{1}=\mathrm{2m}\) ; \({\mu }_{2}=\mathrm{2m}\)

  • modes propres normés à la masse modale généralisée unitaire \({\phi }_{\text{Ni}}\) :

  • \(\Rightarrow \text{}{\phi }_{\mathrm{N1}}=\frac{{\phi }_{1}}{\sqrt{{\mu }_{1}}}\) ; \({\phi }_{\mathrm{N2}}=\frac{{\phi }_{2}}{\sqrt{{\mu }_{2}}}\)

  • Les réactions modales \({\mathrm{F}}_{m,i}\) :

Nota : On suppose qu’aucune force d’excitation n’est appliquée sur les degrés de liberté de structure, les réactions sont calculées au niveau des supports

  • Dans le repère repartitionné :

\({F}_{mi}^p=\left(\begin{array}{c}0\\ r_i\end{array}\right)\), \({\phi }_{Ni}^p=\left(\begin{array}{c}{\phi }_{Nix}^{}\\ {\phi }_{Nis}^{}\end{array}\right)\), \(r_i=k_{sx} \phi_{Nix}\)

\(\Rightarrow r_1=k_{sx} \phi_{N1x}=k_{sx} \frac{\phi_{1x}}{\sqrt{\mu_1}}=\) \(\frac{1}{\sqrt{2m}} \left[\begin{array}{cc}-k& 0\\ 0& -k\end{array}\right]\) \(\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)\) \(=\frac{k}{\sqrt{\mathrm{2m}}} \left(\begin{array}{c}-1\\ -1\end{array}\right)\)

\(\Rightarrow r_2=k_{sx} \phi_{N2x}=k_{sx} \frac{\phi_{2x}}{\sqrt{\mu_2}}=\) \(\frac{1}{\sqrt{2m}} \left[\begin{array}{cc}-k& 0\\ 0& -k\end{array}\right]\) \(\left(\begin{array}{c}1\\ -1\end{array}\right)\) \(=\frac{k}{\sqrt{\mathrm{2m}}} \left(\begin{array}{c}-1\\ 1\end{array}\right)\)

  • Soit dans le repère global :

\(\Rightarrow \text{}{\mathrm{F}}_{m1}=K{\phi }_{\mathrm{N1}}\) \(=\frac{k}{\sqrt{\mathrm{2m}}}\left(\begin{array}{c}-1\\ 0\\ 0\\ -1\end{array}\right)\) ; \({\mathrm{F}}_{m2}=K{\phi }_{\mathrm{N2}}\) \(=\frac{k}{\sqrt{\mathrm{2m}}}\left(\begin{array}{c}-1\\ 0\\ 0\\ 1\end{array}\right)\)

  • modes statiques d’appuis \({\Psi }_{j}\)

Matrice des modes statiques réduite aux degrés de liberté de structure \({\varphi }_{s}=-{k}_{\mathrm{xx}}^{\text{-1}}{k}_{\mathrm{xs}}^{}\)

\({\varphi }_{s}=-\frac{1}{\mathrm{5k}}\left[\begin{array}{cc}3& 2\\ 2& 3\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}-k& 0\\ 0& -k\end{array}\right]=\frac{1}{5}\left[\begin{array}{cc}3& 2\\ 2& 3\end{array}\right]\)

  • solution statique à un déplacement unitaire du nœud \(\mathrm{NO1}\) :

déplacements : \({\psi }_{1}=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\\ 0\end{array}\right) +\) \(\frac{1}{5}\left(\begin{array}{c}0\\ 3\\ 2\\ 0\end{array}\right)\) \(=\frac{1}{5}\left(\begin{array}{c}5\\ 3\\ 2\\ 0\end{array}\right)\)

réactions nodales : \({F}_{1}=K{\psi }_{1}=\frac{k}{5} \left(\begin{array}{c}2\\ 0\\ 0\\ -2\end{array} \right)\)

  • solution statique à un déplacement unitaire du nœud \(\mathrm{NO4}\) :

déplacements : \({\psi }_{2}=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\\ 1\end{array}\right) +\) \(\frac{1}{5}\left(\begin{array}{c}0\\ 2\\ 3\\ 0\end{array}\right)\) \(=\frac{1}{5}\left(\begin{array}{c}0\\ 2\\ 3\\ 5\end{array}\right)\)

réactions nodales : \({F}_{2}=K{\psi }_{2}=\frac{k}{5}\left(\begin{array}{c}-2\\ 0\\ 0\\ 2\end{array}\right)\)

  • facteurs de participation modale en multi-appui : \({P}_{ij}{=}^{T}{\phi }_{i}M{\psi}_{j}\)

  • contribution du mode dynamique \(1\) au mouvement imposé au nœud \(\mathrm{NO1}\) :

\({P}_{11}{=}^{T}{\phi }_{\mathrm{N1}}M{\psi}_{1}=\frac{1}{5}\sqrt{\frac{m}{2}}\)

  • contribution du mode dynamique \(1\) au mouvement imposé au nœud \(\mathrm{NO4}\) :

\({P}_{12}{=}^{T}{\phi }_{\mathrm{N1}}M{\psi}_{2}=\frac{-1}{5}\sqrt{\frac{m}{2}}\)

  • contribution du mode dynamique \(2\) au mouvement imposé au nœud \(\mathrm{NO1}\) :

\({P}_{21}{=}^{T}{\phi }_{\mathrm{N2}}M{\psi}_{1}=\sqrt{\frac{m}{2}}\)

  • contribution du mode dynamique \(2\) au mouvement imposé au nœud \(\mathrm{NO4}\) :

\({P}_{22}{=}^{T}{\phi }_{\mathrm{N2}}M{\psi}_{2}=\sqrt{\frac{m}{2}}\)

  • facteur de participation du mode dynamique \(1\) dans la direction \(X\) :

\({P}_{\mathrm{1X}}={P}_{11}+{P}_{12}\)

  • facteur de participation du mode dynamique \(2\) dans la direction \(X\) :

\({P}_{\mathrm{2X}}={P}_{21}+{P}_{22}\)

  • facteurs de participation modale en mono-appui \({P}_{i}=\frac{{\phi }_{\text{Ni}}M{\psi}_{\mathrm{R1}}}{{\mu}_{i}}\)

  • contribution du mode dynamique \(1\) :

\({P}_{1}{=}^{T}{\phi }_{\mathrm{N1}}M{\psi}_{\mathrm{R1}}={\phi }_{\mathrm{N1}}M({\psi}_{\mathrm{s1}}+{\psi}_{\mathrm{s2}})={P}_{11}+{P}_{12}\)

  • contribution du mode dynamique \(2\) :

\({P}_{2}{=}^{T}{\phi }_{\mathrm{N2}}M{\psi}_{\mathrm{R1}}={\phi }_{\mathrm{N2}}M({\psi}_{\mathrm{s1}}+{\psi}_{\mathrm{s2}})={P}_{21}+{P}_{22}\)

  • facteur de participation du mode dynamique \(1\) dans la direction \(X\) :

\({P}_{\mathrm{1X}}={P}_{1}+{P}_{2}\)

  • réponse du mode \(i\) au mouvement de l’appui \(j\) en multi-appui

\({\mathrm{R}}_{\mathrm{m, ij}}={r}_{i}{P}_{\mathrm{ij}}\frac{{A}_{\mathrm{ij}}}{{\omega }_{i}^{2}}\)

avec :

  • \({r}_{i}={\phi }_{\text{Ni}}\) : Réponse en déplacement

  • \({r}_{i}={\mathrm{F}}_{mi}\) : Réponse en force (Réaction nodale dans ce cas).

Modélisation \(A\) :

\({A}_{11}=\frac{{a}_{1}{\mathrm{freq}}_{1}^{2}}{∣{f}_{1}^{2}-{\mathrm{freq}}_{1}^{2}∣}\) : mode \(1\) , nœud \(1\)

\({A}_{12}=\frac{{a}_{2}{\mathrm{freq}}_{1}^{2}}{∣{f}_{2}^{2}-{\mathrm{freq}}_{1}^{2}∣}\) : mode \(1\) , nœud \(2\)

\({A}_{21}=\frac{{a}_{1}{\mathrm{freq}}_{2}^{2}}{∣{f}_{1}^{2}-{\mathrm{freq}}_{2}^{2}∣}\) : mode \(2\) , nœud \(1\)

\({A}_{22}=\frac{{a}_{2}{\mathrm{freq}}_{2}^{2}}{∣{f}_{2}^{2}-{\mathrm{freq}}_{2}^{2}∣}\) : mode \(2\) , nœud \(2\)

Modélisation \(B\) :

\({A}_{11}={A}_{12}=\frac{{a}_{1}{\mathrm{freq}}_{1}^{2}}{∣{f}_{1}^{2}-{\mathrm{freq}}_{1}^{2}∣}\) : mode \(1\) \({A}_{21}={A}_{22}=\frac{{a}_{1}{\mathrm{freq}}_{2}^{2}}{∣{f}_{1}^{2}-{\mathrm{freq}}_{2}^{2}∣}\) : mode \(2\)

  • réponse du mode \(i\) en mono-appui

\({\mathrm{Rm}}_{i}={r}_{i}{P}_{i}\frac{{A}_{i}}{{\omega}_{i}^{2}}\) avec \({r}_{i}={\phi }_{\text{Ni}}\) ou \({r}_{i}={\mathrm{Fm}}_{i}\)

Réponses combinées des oscillateurs modaux

Réponse du mode \(1\) : \({\mathrm{Rm}}_{1}={\phi }_{\mathrm{N1}}{P}_{1}\frac{{A}_{1}}{{\omega}_{1}^{2}}={\mathrm{Rm}}_{11}+{\mathrm{Rm}}_{12}\)

Réponse du mode \(2\) : \({\mathrm{Rm}}_{2}={\phi }_{\mathrm{N2}}{P}_{2}\frac{{A}_{2}}{{\omega}_{2}^{2}}={\mathrm{Rm}}_{21}+{\mathrm{Rm}}_{22}\)

correction statique

  • modes statiques \({u}_{s,j}\) solution de \({k}_{\mathrm{xx}}{u}_{\mathrm{sj}}={m}_{\mathrm{xx}}{\varphi }_{\mathrm{s,j}}\) (j = 1, 2) :

On en déduit : \({u}_{s,j} = {k}_{\mathrm{xx}}^{-1} {m}_{\mathrm{xx}}{\varphi }_{\mathrm{s,j}}\)

On rappelle que \({\varphi}_{\mathrm{s,j}}\) est la j-ième colonne de la matrice \({\varphi }_{\mathrm{s}}\), obtenue par \({\varphi }_{s}=-{k}_{\mathrm{xx}}^{\text{-1}}{k}_{\mathrm{xs}}^{}\)

modes \(\varphi\) réduits aux degrés de liberté de structure : \({\varphi }_{\mathrm{S1}}=\frac{1}{5}\left(\begin{array}{c}3\\ 2\end{array}\right)\), \({\varphi }_{\mathrm{S2}}=\frac{1}{5}\left(\begin{array}{c}2\\ 3\end{array}\right)\)

déplacements : \({u}_{1}=\frac{m}{\mathrm{25k}}\left(\begin{array}{c}0\\ 13\\ 12\\ 0\end{array}\right)\), réactions nodales : \({\mathrm{F}}_{u1}=Ku_1 = \frac{m}{25}\left(\begin{array}{c}-13\\ 15\\ 10\\ -12\end{array}\right)\)

déplacements : \({u}_{2}=\frac{m}{\mathrm{25k}}\left(\begin{array}{c}0\\ 12\\ 13\\ 0\end{array}\right)\), réactions nodales : \({\mathrm{F}}_{u2}=Ku_2=\frac{m}{25}\left(\begin{array}{c}-12\\ 10\\ 15\\ -13\end{array}\right)\)

2.3. Incertitude sur la solution#

Aucune (solution analytique exacte).