Solution de référence ===================== Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence -------------------------------------------------------- On calcule la réponse spectrale par superposition modale d’un système masses-ressorts soumis à deux excitations distinctes. On détermine le déplacement des masses et les réactions d’appui aux nœuds :math:`\mathrm{NO1}` et :math:`\mathrm{NO4}` suivant l’axe :math:`x` . On calcule analytiquement : * les fréquences propres :math:`{f}_{i}` , * les vecteurs propres associés :math:`{\phi }_{\text{Ni}}` normalisés par rapport à la masse modale, * les modes statiques d’appuis :math:`{\psi}_{j}` du système, * les facteurs de participation modale :math:`{P}_{ij}` relatif aux appuis, * :math:`{\mathrm{Rm}}_{ij}` le maximum de la réponse de chaque mode à partir des spectres d’excitation, * :math:`{\mathrm{Rc}}_{j}` le terme de correction statique. Ces calculs analytiques sont décrits dans le fichier Matlab sdld301.55. Grandeur de référence --------------------- * **matrice de rigidité** :math:`K` :math:`K=\left[\begin{array}{cccc}k& -k& 0& 0\\ -k& \mathrm{3k}& -\mathrm{2k}& 0\\ 0& -\mathrm{2k}& \mathrm{3k}& -k\\ 0& 0& -k& k\end{array}\right]` :math:`{K}^{p}=\left[\begin{array}{cccc}\mathrm{3k}& -\mathrm{2k}& -k& 0\\ -\mathrm{2k}& \mathrm{3k}& 0& -k\\ -k& 0& k& 0\\ 0& -k& 0& k\end{array}\right]` matrice partitionnée degrés de liberté de structure :math:`\mathrm{2,}3` , degrés de liberté de support :math:`\mathrm{1,}4` :math:`{K}^{p}=\left[\begin{array}{cc}{k}_{\mathrm{xx}}& {k}_{\mathrm{xs}}\\ {k}_{\mathrm{sx}}& {k}_{\mathrm{ss}}\end{array}\right]`, :math:`{k}_{\mathrm{xx}}=\left[\begin{array}{cc}\mathrm{3k}& -\mathrm{2k}\\ -\mathrm{2k}& \mathrm{3k}\end{array}\right]`, :math:`{k}_{\mathrm{xs}}=\left[\begin{array}{cc}-k& 0\\ 0& -k\end{array}\right]` * **matrice de masse** :math:`M` :math:`M = \left[\begin{array}{cccc}0& 0& 0& 0\\ 0& m& 0& 0\\ 0& 0& m& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right]` matrice partitionnée degrés de liberté de structure :math:`\mathrm{2,}3` , degrés de liberté de support :math:`\mathrm{1,}4` :math:`{M}^{p}=\left[\begin{array}{cc}{m}_{\mathrm{xx}}& {m}_{\mathrm{xs}}\\ {m}_{\mathrm{sx}}& {m}_{\mathrm{ss}}\end{array}\right] =\left[\begin{array}{cccc}m& 0& 0& 0\\ 0& m& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right]`, :math:`{m}_{\mathrm{xx}}=\left[\begin{array}{cc}\mathrm{m}& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& \mathrm{m}\end{array}\right]`, :math:`{m}_{\mathrm{xs}}=\left[\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\end{array}\right]` * **calcul modal en base encastrée** :math:`{k}_{\mathrm{xx}}=\left[\begin{array}{cc}\mathrm{3k}& -\mathrm{2k}\\ -\mathrm{2k}& \mathrm{3k}\end{array}\right]`, :math:`{m}_{\mathrm{xx}}=\left[\begin{array}{cc}m& 0\\ 0& m\end{array}\right]` :math:`({k}_{\mathrm{xx}}-{\lambda }_{i}{m}_{\mathrm{xx}}){\phi }_{i, x}=0`, où :math:`{\lambda }_{i}={\omega }_{\mathrm{i}}^{2}` sont les valeurs propres de la matrice :math:`{m}_{\mathrm{xx}}^{-1} {k}_{\mathrm{xx}}^{}`. On a : :math:`{\lambda }_{1}=\frac{k}{m}`, :math:`{\lambda }_{2}=\frac{\mathrm{5k}}{m}` - fréquences propres : :math:`\Rightarrow \text{}{\mathrm{freq}}_{1}=\frac{{\omega }_{\mathrm{1}}}{2\pi };{\mathrm{freq}}_{2}=\frac{{\omega }_{\mathrm{2}}}{2\pi }` :math:`\{{\phi }_{i, x}\} \in \mathbb{R}^{2 \times 1}` sont les modes propres dans la base des degrés de liberté liés à la structure (ddl libres) : :math:`{\phi }_{1, x}=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)`, :math:`{\phi }_{2, x}=\left(\begin{array}{c}1\\ -1\end{array}\right)` Les degrés de liberté liés au support sont à déplacements nuls. - modes propres non normés :math:`\{{\phi }_{i}\} \in \mathbb{R}^{4 \times 1}` dans le repère global : :math:`{\phi }_{1}=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 1\\ 0\end{array}\right)`, :math:`{\phi }_{2}=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ -1\\ 0\end{array}\right)` - masses modales généralisées : :math:`{\mu }_{i}{=}^{T}{\phi }_{i}M{\phi }_{i}` * :math:`{\mu }_{1}=\mathrm{2m}` ; :math:`{\mu }_{2}=\mathrm{2m}` - modes propres normés à la masse modale généralisée unitaire :math:`{\phi }_{\text{Ni}}` : * :math:`\Rightarrow \text{}{\phi }_{\mathrm{N1}}=\frac{{\phi }_{1}}{\sqrt{{\mu }_{1}}}` ; :math:`{\phi }_{\mathrm{N2}}=\frac{{\phi }_{2}}{\sqrt{{\mu }_{2}}}` - Les réactions modales :math:`{\mathrm{F}}_{m,i}` : **Nota :** On suppose qu’aucune force d’excitation n’est appliquée sur les degrés de liberté de structure, les réactions sont calculées au niveau des supports - Dans le repère repartitionné : :math:`{F}_{mi}^p=\left(\begin{array}{c}0\\ r_i\end{array}\right)`, :math:`{\phi }_{Ni}^p=\left(\begin{array}{c}{\phi }_{Nix}^{}\\ {\phi }_{Nis}^{}\end{array}\right)`, :math:`r_i=k_{sx} \phi_{Nix}` :math:`\Rightarrow r_1=k_{sx} \phi_{N1x}=k_{sx} \frac{\phi_{1x}}{\sqrt{\mu_1}}=` :math:`\frac{1}{\sqrt{2m}} \left[\begin{array}{cc}-k& 0\\ 0& -k\end{array}\right]` :math:`\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)` :math:`=\frac{k}{\sqrt{\mathrm{2m}}} \left(\begin{array}{c}-1\\ -1\end{array}\right)` :math:`\Rightarrow r_2=k_{sx} \phi_{N2x}=k_{sx} \frac{\phi_{2x}}{\sqrt{\mu_2}}=` :math:`\frac{1}{\sqrt{2m}} \left[\begin{array}{cc}-k& 0\\ 0& -k\end{array}\right]` :math:`\left(\begin{array}{c}1\\ -1\end{array}\right)` :math:`=\frac{k}{\sqrt{\mathrm{2m}}} \left(\begin{array}{c}-1\\ 1\end{array}\right)` - Soit dans le repère global : :math:`\Rightarrow \text{}{\mathrm{F}}_{m1}=K{\phi }_{\mathrm{N1}}` :math:`=\frac{k}{\sqrt{\mathrm{2m}}}\left(\begin{array}{c}-1\\ 0\\ 0\\ -1\end{array}\right)` ; :math:`{\mathrm{F}}_{m2}=K{\phi }_{\mathrm{N2}}` :math:`=\frac{k}{\sqrt{\mathrm{2m}}}\left(\begin{array}{c}-1\\ 0\\ 0\\ 1\end{array}\right)` * **modes statiques d’appuis** :math:`{\Psi }_{j}` Matrice des modes statiques réduite aux degrés de liberté de structure :math:`{\varphi }_{s}=-{k}_{\mathrm{xx}}^{\text{-1}}{k}_{\mathrm{xs}}^{}` :math:`{\varphi }_{s}=-\frac{1}{\mathrm{5k}}\left[\begin{array}{cc}3& 2\\ 2& 3\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}-k& 0\\ 0& -k\end{array}\right]=\frac{1}{5}\left[\begin{array}{cc}3& 2\\ 2& 3\end{array}\right]` * solution statique à un déplacement unitaire du nœud :math:`\mathrm{NO1}` : déplacements : :math:`{\psi }_{1}=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\\ 0\end{array}\right) +` :math:`\frac{1}{5}\left(\begin{array}{c}0\\ 3\\ 2\\ 0\end{array}\right)` :math:`=\frac{1}{5}\left(\begin{array}{c}5\\ 3\\ 2\\ 0\end{array}\right)` réactions nodales : :math:`{F}_{1}=K{\psi }_{1}=\frac{k}{5} \left(\begin{array}{c}2\\ 0\\ 0\\ -2\end{array} \right)` * solution statique à un déplacement unitaire du nœud :math:`\mathrm{NO4}` : déplacements : :math:`{\psi }_{2}=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\\ 1\end{array}\right) +` :math:`\frac{1}{5}\left(\begin{array}{c}0\\ 2\\ 3\\ 0\end{array}\right)` :math:`=\frac{1}{5}\left(\begin{array}{c}0\\ 2\\ 3\\ 5\end{array}\right)` réactions nodales : :math:`{F}_{2}=K{\psi }_{2}=\frac{k}{5}\left(\begin{array}{c}-2\\ 0\\ 0\\ 2\end{array}\right)` * facteurs de participation modale en multi-appui : :math:`{P}_{ij}{=}^{T}{\phi }_{i}M{\psi}_{j}` * contribution du mode dynamique :math:`1` au mouvement imposé au nœud :math:`\mathrm{NO1}` : :math:`{P}_{11}{=}^{T}{\phi }_{\mathrm{N1}}M{\psi}_{1}=\frac{1}{5}\sqrt{\frac{m}{2}}` * contribution du mode dynamique :math:`1` au mouvement imposé au nœud :math:`\mathrm{NO4}` : :math:`{P}_{12}{=}^{T}{\phi }_{\mathrm{N1}}M{\psi}_{2}=\frac{-1}{5}\sqrt{\frac{m}{2}}` * contribution du mode dynamique :math:`2` au mouvement imposé au nœud :math:`\mathrm{NO1}` : :math:`{P}_{21}{=}^{T}{\phi }_{\mathrm{N2}}M{\psi}_{1}=\sqrt{\frac{m}{2}}` * contribution du mode dynamique :math:`2` au mouvement imposé au nœud :math:`\mathrm{NO4}` : :math:`{P}_{22}{=}^{T}{\phi }_{\mathrm{N2}}M{\psi}_{2}=\sqrt{\frac{m}{2}}` * facteur de participation du mode dynamique :math:`1` dans la direction :math:`X` : :math:`{P}_{\mathrm{1X}}={P}_{11}+{P}_{12}` * facteur de participation du mode dynamique :math:`2` dans la direction :math:`X` : :math:`{P}_{\mathrm{2X}}={P}_{21}+{P}_{22}` * facteurs de participation modale en mono-appui :math:`{P}_{i}=\frac{{\phi }_{\text{Ni}}M{\psi}_{\mathrm{R1}}}{{\mu}_{i}}` * contribution du mode dynamique :math:`1` : :math:`{P}_{1}{=}^{T}{\phi }_{\mathrm{N1}}M{\psi}_{\mathrm{R1}}={\phi }_{\mathrm{N1}}M({\psi}_{\mathrm{s1}}+{\psi}_{\mathrm{s2}})={P}_{11}+{P}_{12}` * contribution du mode dynamique :math:`2` : :math:`{P}_{2}{=}^{T}{\phi }_{\mathrm{N2}}M{\psi}_{\mathrm{R1}}={\phi }_{\mathrm{N2}}M({\psi}_{\mathrm{s1}}+{\psi}_{\mathrm{s2}})={P}_{21}+{P}_{22}` * facteur de participation du mode dynamique :math:`1` dans la direction :math:`X` : :math:`{P}_{\mathrm{1X}}={P}_{1}+{P}_{2}` * **réponse du mode** :math:`i` **au mouvement de l’appui** :math:`j` **en multi-appui** :math:`{\mathrm{R}}_{\mathrm{m, ij}}={r}_{i}{P}_{\mathrm{ij}}\frac{{A}_{\mathrm{ij}}}{{\omega }_{i}^{2}}` avec : - :math:`{r}_{i}={\phi }_{\text{Ni}}` : Réponse en déplacement - :math:`{r}_{i}={\mathrm{F}}_{mi}` : Réponse en force (Réaction nodale dans ce cas). Modélisation :math:`A` : :math:`{A}_{11}=\frac{{a}_{1}{\mathrm{freq}}_{1}^{2}}{∣{f}_{1}^{2}-{\mathrm{freq}}_{1}^{2}∣}` : mode :math:`1` , nœud :math:`1` :math:`{A}_{12}=\frac{{a}_{2}{\mathrm{freq}}_{1}^{2}}{∣{f}_{2}^{2}-{\mathrm{freq}}_{1}^{2}∣}` : mode :math:`1` , nœud :math:`2` :math:`{A}_{21}=\frac{{a}_{1}{\mathrm{freq}}_{2}^{2}}{∣{f}_{1}^{2}-{\mathrm{freq}}_{2}^{2}∣}` : mode :math:`2` , nœud :math:`1` :math:`{A}_{22}=\frac{{a}_{2}{\mathrm{freq}}_{2}^{2}}{∣{f}_{2}^{2}-{\mathrm{freq}}_{2}^{2}∣}` : mode :math:`2` , nœud :math:`2` Modélisation :math:`B` : :math:`{A}_{11}={A}_{12}=\frac{{a}_{1}{\mathrm{freq}}_{1}^{2}}{∣{f}_{1}^{2}-{\mathrm{freq}}_{1}^{2}∣}` : mode :math:`1` :math:`{A}_{21}={A}_{22}=\frac{{a}_{1}{\mathrm{freq}}_{2}^{2}}{∣{f}_{1}^{2}-{\mathrm{freq}}_{2}^{2}∣}` : mode :math:`2` * **réponse du mode** :math:`i` **en mono-appui** :math:`{\mathrm{Rm}}_{i}={r}_{i}{P}_{i}\frac{{A}_{i}}{{\omega}_{i}^{2}}` avec :math:`{r}_{i}={\phi }_{\text{Ni}}` ou :math:`{r}_{i}={\mathrm{Fm}}_{i}` Réponses combinées des oscillateurs modaux Réponse du mode :math:`1` : :math:`{\mathrm{Rm}}_{1}={\phi }_{\mathrm{N1}}{P}_{1}\frac{{A}_{1}}{{\omega}_{1}^{2}}={\mathrm{Rm}}_{11}+{\mathrm{Rm}}_{12}` Réponse du mode :math:`2` : :math:`{\mathrm{Rm}}_{2}={\phi }_{\mathrm{N2}}{P}_{2}\frac{{A}_{2}}{{\omega}_{2}^{2}}={\mathrm{Rm}}_{21}+{\mathrm{Rm}}_{22}` **correction statique** * modes statiques :math:`{u}_{s,j}` solution de :math:`{k}_{\mathrm{xx}}{u}_{\mathrm{sj}}={m}_{\mathrm{xx}}{\varphi }_{\mathrm{s,j}}` (j = 1, 2) : On en déduit : :math:`{u}_{s,j} = {k}_{\mathrm{xx}}^{-1} {m}_{\mathrm{xx}}{\varphi }_{\mathrm{s,j}}` On rappelle que :math:`{\varphi}_{\mathrm{s,j}}` est la j-ième colonne de la matrice :math:`{\varphi }_{\mathrm{s}}`, obtenue par :math:`{\varphi }_{s}=-{k}_{\mathrm{xx}}^{\text{-1}}{k}_{\mathrm{xs}}^{}` modes :math:`\varphi` réduits aux degrés de liberté de structure : :math:`{\varphi }_{\mathrm{S1}}=\frac{1}{5}\left(\begin{array}{c}3\\ 2\end{array}\right)`, :math:`{\varphi }_{\mathrm{S2}}=\frac{1}{5}\left(\begin{array}{c}2\\ 3\end{array}\right)` déplacements : :math:`{u}_{1}=\frac{m}{\mathrm{25k}}\left(\begin{array}{c}0\\ 13\\ 12\\ 0\end{array}\right)`, réactions nodales : :math:`{\mathrm{F}}_{u1}=Ku_1 = \frac{m}{25}\left(\begin{array}{c}-13\\ 15\\ 10\\ -12\end{array}\right)` déplacements : :math:`{u}_{2}=\frac{m}{\mathrm{25k}}\left(\begin{array}{c}0\\ 12\\ 13\\ 0\end{array}\right)`, réactions nodales : :math:`{\mathrm{F}}_{u2}=Ku_2=\frac{m}{25}\left(\begin{array}{c}-12\\ 10\\ 15\\ -13\end{array}\right)` Incertitude sur la solution --------------------------- Aucune (solution analytique exacte).