2. Solution de référence

2.1. Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence

La solution de référence est analytique. En l’absence d’amortissement, c’est une simple sinusoïde dont la période est égale à la pulsation propre de l’oscillateur, \({\omega}_{0}=\sqrt{\frac{k}{m}}\) , et dont l’amplitude est l’allongement initial \(({x}_{0})\) du ressort. La position \(x(t)\) de la masse est donnée par l’équation :

\(x(t)={x}_{0}\cos({\omega}_{0}t)\) (1)

La vitesse de la masse est donc:

\(v(t)=-{\omega}_{0}{x}_{0}\sin({\omega}_{0}t)\) (2)

En présence d’un amortissement visqueux \(({c}_{[\mathrm{N.s}/m]})\) , les oscillations deviennent amorties et la position \(x(t)\) s’écrit :

\(x(t)={x}_{0}{e}^{-\zeta {\omega}_{0}t}[\cos(\omega t)+(\frac{\zeta}{\sqrt{1-{\zeta}^{2}}})\sin(\omega t)]\) (3)

où \(\zeta\) est l’amortissement réduit donné par \(\zeta =\frac{c}{2{\omega}_{0}m}\) . \(\zeta\) est considéré être inférieur à 1 pour conserver les oscillations. La pulsation est donné par la formule \(\omega ={\omega}_{0}\sqrt{(1-{\zeta}^{2})}\) . Elle est donc différente de la pulsation propre \(({\omega}_{0})\) du système.

2.2. Résultats

Cas 1 : système conservatif (sans amortissement)

Pour ce système, la pulsation propre \({\omega}_{0}=\pi \mathrm{rad}/s\) . La fréquence propre est donc \({f}_{0}={\omega}_{0}/2\pi =0,5\mathrm{Hz}\) .

Le déplacement (en m) et la vitesse (en m/s) de la masse, donnés respectivement par Eqs.1 et 2 sont :

\(x(t)=\cos(\pi t)\) et \(v(t)=-\pi \sin(\pi t)\)

Cas 2 : système dissipatif visqueux

L’amortissement réduit est de \(\zeta =0,1\) . La pulsation est \(\omega =0,995\pi \mathrm{rad}/s\) et la fréquence est donc \(f=\omega /2\pi =0,4975\mathrm{Hz}\) .

Le déplacement (en m) peut ensuite être calculé selon Eq.3.

2.3. Incertitude sur la solution

Solution analytique.