Solution de référence
=====================


Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence
--------------------------------------------------------

La solution de référence est analytique. En l'absence d'amortissement, c'est une simple sinusoïde dont la période est égale à la pulsation propre de l'oscillateur, :math:`{\omega}_{0}=\sqrt{\frac{k}{m}}` , et dont l'amplitude est l'allongement initial :math:`({x}_{0})` du ressort. La position :math:`x(t)` de la masse est donnée par l'équation :

     :math:`x(t)={x}_{0}\cos({\omega}_{0}t)`             (1)

La vitesse de la masse est donc:

     :math:`v(t)=-{\omega}_{0}{x}_{0}\sin({\omega}_{0}t)`             (2)

En présence d'un amortissement visqueux :math:`({c}_{[\mathrm{N.s}/m]})` , les oscillations deviennent amorties et la position :math:`x(t)` s'écrit :

     :math:`x(t)={x}_{0}{e}^{-\zeta {\omega}_{0}t}[\cos(\omega t)+(\frac{\zeta}{\sqrt{1-{\zeta}^{2}}})\sin(\omega t)]`      (3)

où :math:`\zeta` est l'amortissement réduit donné par :math:`\zeta =\frac{c}{2{\omega}_{0}m}` . :math:`\zeta` est considéré être inférieur à 1 pour conserver les oscillations. La pulsation est donné par la formule :math:`\omega ={\omega}_{0}\sqrt{(1-{\zeta}^{2})}` . Elle est donc différente de la pulsation propre :math:`({\omega}_{0})` du système.


Résultats
----------

*Cas 1*  : système conservatif (sans amortissement)

Pour ce système, la pulsation propre :math:`{\omega}_{0}=\pi \mathrm{rad}/s` . La fréquence propre est donc :math:`{f}_{0}={\omega}_{0}/2\pi =0,5\mathrm{Hz}` .

Le déplacement (en m) et la vitesse (en m/s) de la masse, donnés respectivement par Eqs.1 et 2 sont :

     :math:`x(t)=\cos(\pi t)` et :math:`v(t)=-\pi \sin(\pi t)`


.. image:: images/100000000000034A00000253D0D0B4AE766DB174.jpg
    :width: 5.4307in
    :height: 3.8374in


.. _RefImage_100000000000034A00000253D0D0B4AE766DB174.jpg:

*Cas 2*  : système dissipatif visqueux

L'amortissement réduit est de :math:`\zeta =0,1` . La pulsation est :math:`\omega =0,995\pi \mathrm{rad}/s` et la fréquence est donc :math:`f=\omega /2\pi =0,4975\mathrm{Hz}` .

Le déplacement (en m) peut ensuite être calculé selon Eq.3.


Incertitude sur la solution
---------------------------

Solution analytique.