2. Solution de référence#
2.1. Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence#
La solution de référence est celle donnée dans la fiche SDLD02/89 du guide VPCS qui présente la méthode de calcul de la façon suivante :
Le problème conduit à rechercher les valeurs propres et vecteurs propres de :
\((K-M{\omega}_{i}){\Phi}_{i}=0\)
\(K=\left[\begin{array}{cccccc}k& -k& & & & \\ -k& \mathrm{2k}& -k& & & \\ & & \mathrm{..}& & & \\ & & & -k& \mathrm{2k}& -k\\ & & & & -k& k\end{array}\right]\) \(M=\left[\begin{array}{ccccc}0& & & & \\ & m& & & \\ & & \mathrm{..}& & \\ & & & m& \\ & & & & 0\end{array}\right]\)
d’où :
\({f}_{i}=\frac{1}{\pi}\sqrt{\frac{k}{m}}\cos(\frac{n+1-i}{(n+1)}\frac{\pi}{2})\)
\(i=1,2,\mathrm{...},n\)
\(n\) = nombre de masses
\({\Phi}_{i}^{t}\) calculée par résolution du système linéaire.
2.2. Résultats de référence#
8 premières fréquences propres et les premier et huitième vecteurs propres normés tel que :
Le test VPCS fournit des modes normés à \({\Phi}^{t}M\Phi =10\) . On présente des modes normés :
à la masse généralisée unitaire : \({\Phi}^{t}M\Phi =1\) ; les composantes de référence sont divisées par \(\sqrt{10}\) ,
à la raideur généralisée ce qui revient à diviser les composantes précédentes par
,
à la plus grande composante de déplacement.
2.3. Incertitude sur la solution#
Solution analytique.
2.4. Références bibliographiques#
LALANNE, P. BERTHIER, J. DERHAGOPIAN. Mécanique des vibrations linéaires. Paris : MASSON, 2° édition, chapitre 3, p. 100-101 (1986)