Solution de référence
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Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence
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La solution de référence est celle donnée dans la fiche SDLD02/89 du guide VPCS qui présente la méthode de calcul de la façon suivante :

Le problème conduit à rechercher les valeurs propres et vecteurs propres de :

:math:`(K-M{\omega}_{i}){\Phi}_{i}=0`

:math:`K=\left[\begin{array}{cccccc}k& -k& & & & \\ -k& \mathrm{2k}& -k& & & \\ & & \mathrm{..}& & & \\ & & & -k& \mathrm{2k}& -k\\ & & & & -k& k\end{array}\right]` :math:`M=\left[\begin{array}{ccccc}0& & & & \\ & m& & & \\ & & \mathrm{..}& & \\ & & & m& \\ & & & & 0\end{array}\right]`

d'où :

:math:`{f}_{i}=\frac{1}{\pi}\sqrt{\frac{k}{m}}\cos(\frac{n+1-i}{(n+1)}\frac{\pi}{2})`

:math:`i=1,2,\mathrm{...},n`

:math:`n` = nombre de masses

:math:`{\Phi}_{i}^{t}` calculée par résolution du système linéaire.


Résultats de référence
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8 premières fréquences propres et les premier et huitième vecteurs propres normés tel que :

Le test VPCS fournit des modes normés à :math:`{\Phi}^{t}M\Phi =10` . On présente des modes normés :


*   à la masse généralisée unitaire : :math:`{\Phi}^{t}M\Phi =1` ; les composantes de référence sont divisées par :math:`\sqrt{10}` ,


*   à la raideur généralisée ce qui revient à diviser les composantes précédentes par

    .. image:: images/Object_10.svg
        :width: 18
        :height: 22


    .. _RefImage_Object_10.svg:

,


*   à la plus grande composante de déplacement.


Incertitude sur la solution
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Solution analytique.


Références bibliographiques
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1.  M. LALANNE, P. BERTHIER, J. DERHAGOPIAN. Mécanique des vibrations linéaires. Paris : MASSON, 2° édition, chapitre 3, p. 100-101 (1986)