2. Repère local et matrice de passage

Il est nécessaire de construire un repère local à l’élément pour définir le saut de déplacement \(\delta\) (donnée d’entrée des lois de comportement : voir [R7.02.11] et [R7.01.25]). Par ailleurs, on définit la matrice passage \(R\) du repère global au repère local. Cette partie est valable pour les modélisations de joint en mécanique pure et pour les modélisations couplées hydromécanique.

2.1. Cas 2D

Soit \((X,Y)\) le repère global. La direction donnée par les grands côtés [12] et [34] de l’élément de joint 2D permet de définir un repère local \((n,t)\) à l’élément de joint (voir figure1) :

\(t=\frac{\overrightarrow{12}}{\parallel \overrightarrow{12}\parallel }\) , \(n=t\wedge (X\wedge Y)\)

La matrice de passage du repère global au repère local s’exprime:

\(R=\left[\begin{array}{cc}{n}_{x}& {n}_{y}\\ {t}_{x}& {t}_{y}\end{array}\right]\)

2.2. Cas 3D

On note \((X,Y,Z)\) le repère global. Pour la construction du repère local à l’élément de joint, on utilise la base covariante de l’élément surfacique correspondant. Si on note \(s({\xi}^{1,}{\xi}^{2})\) la position paramétrée d’un point de l’élémentsurfacique :

\(s({\xi}^{1,}{\xi}^{2})=\sum_{n=1}^{\mathrm{Nb}}{N}_{n}({\xi}^{1},{\xi}^{2}){s}^{n}\)

où \({N}_{n}\) et \({s}^{n}\) désignent respectivement la fonction de forme et la position géométrique du nœud \(n\) , et \(\mathrm{Nb}\) le nombre de nœuds de l’élément surfacique. On définit la base locale covariante \(({a}_{1,}{a}_{2})\) de la manière suivante:

\({a}_{1}=\frac{\partial s}{\partial {\xi}_{1}}=\sum_{n=1}^{\mathrm{Nb}}\frac{\partial {N}_{n}}{\partial {\xi}^{1}}{s}^{n}\) \({a}_{2}=\frac{\partial s}{\partial {\xi}_{2}}=\sum_{n=1}^{\mathrm{Nb}}\frac{\partial {N}_{n}}{\partial {\xi}^{2}}{s}^{n}\)

Ces deux vecteurs sont en fait des vecteurs tangent à l’élément en un point donné. La base orthonormée directe locale \((n,t,\tau )\) est alors construite de la manière suivante:

\(t=\frac{{a}_{1}}{\parallel {a}_{1}\parallel }\) \(n=\frac{t\wedge {a}_{2}}{\parallel {a}_{2}\parallel }\) \(\tau =n\wedge t\)

La matrice de passage du repère global au repère local est donnée par:

\(R=\left[\begin{array}{ccc}{n}_{x}& {n}_{y}& {n}_{z}\\ {t}_{x}& {t}_{y}& {t}_{z}\\ {\tau}_{x}& {\tau}_{y}& {\tau}_{z}\end{array}\right]\)