5. Efforts intérieurs et matrice tangente#
5.1. Cas mécanique pure#
La formulation du problème mécanique (voir [R7.02.11] et [R7.01.25]) fait intervenir le travail des efforts le long de la discontinuité, qui n’est autre que l’énergie de surface liée à la fissuration de la structure:
\({W}_{s}(\delta )=\sum_{g}{\omega}_{g}\psi ({\delta}_{g})\)
avec \(\psi\) densité d’énergie de surface et \({\omega}_{g}\) poids du point de gauss \(g\) . Cela permet de définir le vecteur des efforts intérieurs:
\({F}_{int}^{U}=\frac{\partial {W}_{s}(\delta )}{\partial U}=\sum_{g}{\omega}_{g}\frac{\partial \psi }{\partial {\delta}_{g}}\frac{\partial {\delta}_{g}}{\partial U}\)
Dans l’expression précédente, le premier terme est donné par la loi de comportement cohésive (voir [R7.02.11]). Cela correspond au vecteur contrainte \(\overrightarrow{{\sigma}_{g}}\) (ou force cohésive) au point de gauss \(g\) :
\(\frac{\partial \psi }{\partial {\delta}_{g}}=\overrightarrow{{\sigma}_{g}}\)
Le second terme est issue de la définition du saut déplacement dans la partie 3 :
\(\frac{\partial {\delta}_{g}}{\partial U}={M}_{g}^{U}\)
Le vecteur nodal des forces intérieures s’exprime donc de la manière suivante:
\({F}_{int}^{U}=\sum_{g}{\omega}_{g}{{M}_{g}^{U}}^{t}\overrightarrow{{\sigma}_{g}}\)
Dans le cadre d’un algorithme de Newton, pour résoudre le problème d’équilibre non linéaire, il est utile de disposer de la matrice tangente élémentaire, c’est-à-dire la dérivée des forces intérieures par rapport aux déplacements nodaux. Dans le cas de l’élément de joint, elle s’exprime simplement :
\({K}^{\mathrm{UU}}=\frac{\partial {F}_{int}^{U}}{\partial U}=\sum_{g}{\omega}_{g}{{M}_{g}^{U}}^{t}\frac{\partial \overrightarrow{{\sigma}_{g}}}{\partial {\delta}_{g}}{M}_{g}^{U}\)
Cette dernière s’appuie sur l’opérateur tangent : \(\frac{\partial \overrightarrow{{\sigma}_{g}}}{\partial {\delta}_{g}}\) spécifique à la loi de comportement cohésive adoptée (voir [R7.02.11]).
5.2. Cas couplé hydromécanique#
Les joints HYME, en plus des efforts nodaux liés à la mécanique \({F}_{int}^{U}\) sur lesquels on reporte [2]_ la pression de fluide au point de gauss sur la composante normale \(\overrightarrow{{p}_{g}}=({p}_{g},0,0)\) (exprimé dans le repère local à la fissure) :
\({F}_{int}^{U}=\sum_{g}{\omega}_{g}{{M}_{g}^{U}}^{t}(\overrightarrow{{\sigma}_{g}}-\overrightarrow{{p}_{g}})\)
possèdent des efforts nodaux pour l’écoulement de fluide sur les nœuds qui portent des ddl de pression.
La formulation du problème hydraulique (voir [R7.01.25]) fait intervenir le travail des efforts du fluide le long du trajet de l’écoulement (à l’intérieur de la fissure) :
\({W}_{F}(\nabla p)=\sum_{g}{\omega}_{g}H(\nabla p)\)
avec \(H\) densité d’énergie de surface et \({\omega}_{g}\) poids du point de gauss \(g\) . Cela permet de définir le vecteur des efforts intérieurs:
\({F}_{int}^{P}=\frac{\partial {W}_{F}(\nabla p)}{\partial P}=\sum_{g}{\omega}_{g}\frac{\partial H}{\partial \nabla {p}_{g}}\frac{\partial \nabla {p}_{g}}{\partial P}\)
Dans l’expression précédente, le premier terme est donné par la loi de comportement cubique du fluide (voir [R7.01.25]). Cela correspond au flux hydraulique \(\overrightarrow{{w}_{g}}\) au point de gauss \(g\) :
\(\frac{\partial H}{\partial \nabla {p}_{g}}=\overrightarrow{{w}_{g}}\)
D’après la définition du gradient de pression dans 4 . Le second terme est donné par :
\(\frac{\partial \nabla {p}_{g}}{\partial P}={M}_{g}^{P}\)
Le vecteur nodal des forces intérieures s’exprime donc de la manière suivante:
\({F}_{int}^{P}=\sum_{g}{\omega}_{g}{{M}_{g}^{P}}^{t}\overrightarrow{{w}_{g}}\)
Dans le cadre d’un algorithme de Newton, pour résoudre le problème d’équilibre non linéaire, il est utile de disposer de la matrice tangente, c’est-à-dire la dérivée des forces intérieures par rapport aux degrés de liberté. La dérivée des effort intérieur sur les degrés de liberté de déplacement par rapport aux déplacement nodaux donne le terme identique à celui de la matrice obtenue en mécanique pure dans 5.1 :
\({K}^{\mathrm{UU}}=\frac{\partial {F}_{int}^{U}}{\partial U}=\sum_{g}{\omega}_{g}{{M}_{g}^{U}}^{t}\frac{\partial \overrightarrow{{\sigma}_{g}}}{\partial {\delta}_{g}}{M}_{g}^{U}\)
Dans le cas du couplage hydraulique, les \({F}_{int}^{U}\) dépendent explicitement de la pression (voir expression ci-dessus) d’où :
\({K}^{\mathrm{UP}}=\frac{\partial {F}_{int}^{U}}{\partial P}=\sum_{g}{\omega}_{g}{{M}_{g}^{U}}^{t}{X}_{g}\)
avec \({X}_{g}=\frac{\partial \overrightarrow{{p}_{g}}}{\partial P}=(-{N}_{g}^{i},0,0)\) avec \(i=1\text{à}\mathrm{Nb}\) , \(\mathrm{Nb}\) nombre de nœuds de pression (ou encore nombre de degrés de liberté de pression par élément) et \({N}_{n}^{g}\) la valeur de la fonction de forme du nœud \(n\) au point de gauss \(g\) .
La dérivée des efforts intérieurs sur les degrés de liberté de pression par rapport aux déplacement nodaux donne :
\({K}^{\mathrm{PU}}=\frac{\partial {F}_{int}^{P}}{\partial U}=\sum_{g}{\omega}_{g}{{M}_{g}^{P}}^{t}\frac{\partial \overrightarrow{{w}_{g}}}{\partial {\delta}_{g}}{M}_{g}^{U}\)
Enfin, la dérivée des efforts intérieurs sur les degrés de liberté de pression par rapport aux pressions nodales donne :
\({K}^{\mathrm{PP}}=\frac{\partial {F}_{int}^{P}}{\partial P}=\sum_{g}{\omega}_{g}{{M}_{g}^{P}}^{t}\frac{\partial \overrightarrow{{w}_{g}}}{\partial \nabla {p}_{g}}{M}_{g}^{P}\)
La matrice tangente élémentaire (non symétrique) s’exprime de la manière suivante :
\(K=\left[\begin{array}{cc}{K}^{\mathrm{UU}}& {K}^{\mathrm{UP}}\\ {K}^{\mathrm{PU}}& {K}^{\mathrm{PP}}\end{array}\right]\)
Cette dernière s’appuie sur les composantes de l’opérateur tangent : \(\frac{\partial \overrightarrow{{\sigma}_{g}}}{\partial {\delta}_{g}}\) , \(\frac{\partial \overrightarrow{{w}_{g}}}{\partial {\delta}_{g}}\) et \(\frac{\partial \overrightarrow{{w}_{g}}}{\partial \nabla {p}_{g}}\) spécifiques à la loi de comportement cohésive adoptée (voir [R7.01.25]).