2. Solution de référence#

2.1. Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence#

La solution analytique générale pour un guide d’onde s’écrit:

  • pour la pression:

(2.1)#\[p(x,y,z)=A\exp(\mathit{ikx})+B\exp(-\mathit{ikx})\]

  • pour la vitesse vibratoire:

(2.2)#\[V=-\frac{1}{{\rho}_{0}{c}_{0}}\left(A\exp(\mathit{ikx})-\mathit{Bexp}(-\mathit{ikx})\right){e}_{x}\]

  • A et B sont déterminées par les conditions aux limites:

(2.3)#\[\text{En}x=0\to {V}_{n}={V}_{n0}\]
(2.4)#\[\text{En}x=L\to p(L,y,z)=ZV(L,y,z)\cdot {n}_{L}\]

Ce qui donne:

(2.5)#\[A=B\left(\frac{Z-{\rho}_{0}{c}_{0}}{Z+{\rho}_{0}{c}_{0}}\right)\exp(-2\mathit{ikL})\]

Et:

(2.6)#\[B=\frac{{\rho}_{0}{c}_{0}{V}_{n}}{\left(\frac{Z-{\rho}_{0}{c}_{0}}{Z+{\rho}_{0}{c}_{0}}\right)\exp(-2\mathit{ikL})-1}\]

Dans le cas étudié, la sortie du guide est anéchoïque , \(Z={\rho}_{0}{c}_{0}\) et donc:

(2.7)#\[p(x,y,z)={\rho}_{0}{c}_{0}{V}_{n}\exp(-\mathit{ikx}) V(x,y,z)=-{V}_{n}\exp(-\mathit{ikx}){e}_{x}\]

Pour l’intensité acoustique:

(2.8)#\[I=\frac{1}{2}p{V}^{\text{*}}=\frac{1}{2}{\rho}_{0}{c}_{0}{V}_{n}^{2}{e}_{x}\]

C’est-à-dire que l’intensité acoustique active uniforme dans tout le guide et parallèle à l’axe. Les fréquences propres sont données pour le guide fermé aux deux extrémités par:

(2.9)#\[{f}_{m,n,p}=\frac{{c}_{0}}{2}{\left(\frac{{m}^{2}}{{I}_{x}^{2}}+\frac{{n}^{2}}{{I}_{y}^{2}}+\frac{{p}^{2}}{{I}_{z}^{2}}\right)}^{\frac{1}{2}}\]

2.2. Résultats de référence#

Pression aux points \(A,B,C,D\) (pour les modélisations A, B, C, D, E).

Intensité acoustique aux points \(A,B,C,D\) (pour les modélisations A et C).

Fréquences propres n°2 à n°9.

2.3. Incertitude sur la solution#

Solution analytique

2.4. Références bibliographiques#

  1. BOUIZI A. Résolution des équations de l’acoustique linéaire par une méthode d’éléments finis mixtes - Thèse (1989).