2. Solution de référence

2.1. Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence

Le but est de déterminer le déplacement temporel \(z(t)\) du piston de paroi.

On considère le problème plan de ce modèle méridien dont les caractéristiques géométriques, mécaniques et fluides sont décrites sur la [figure]; le piston latéral est de longueur \({2L}\) .

Le problème bidimensionnel est ramené à un problème monodimensionnel en considérant par approximation que les vitesses d’écoulement transversal \(\dot{z}\) induites par le mouvement du piston se transmettent instantanément en vitesses axiales dans le canal.

Sous le piston de paroi, dans un volume de contrôle d’étendue \(dx\), on considère \(d\Omega = e \, dx\). On peut alors écrire :

\[d(\delta V) = \frac{1}{2e} \, d\dot{z} \, {dx} = \frac{1}{2e} \, \ddot{z} \, {dx} \, {dt}\]

Dans le fluide, la variation de vitesse et la variation de pression en évolution adiabatique sont reliées par:

\[d(\delta P) = {\rho}_{f} \, {c}_{f} \, d(\delta V)\]

La pression à l’instant \(t\) en un point d’abscisse \(x\) résulte de la superposition de la propagation de toutes les sources élémentaires distribuées sur le piston.

Le couplage consiste donc en ceci: le mouvement du piston d’accélération \(\ddot{z}(t)\) induit dans le canal un champ de pression \(P(x,t)\) dont l’effort résultant sur l’étendue du piston lui-même agit en retour sur la dynamique de l’oscillateur.

Les caractéristiques géométriques, mécaniques et fluides du modèle sont présentées sur la [figure].

On considère d’abord que le piston et le fluide sont au repos et on effectue un lâcher de l’oscillateur à l’instant \(t=0\) en lui imposant une vitesse initiale.

L’expression de la pression en un point du canal se développe :

\[P(x,t) = \frac{\rho_f \, c_f}{2 \, e} \, \int_{0}^{t} { \left[ \int_{-L}^{x} { \ddot{z} \left( \tau - \frac{\vert x - u \vert}{c_f} \right) du } + \int_{x}^{L} { \ddot{z} \left( \tau - \frac{\vert u - x \vert}{c_f} \right) du } \, d\tau \right] }\]

On a \(z(0)=0\) et \(z(t)=0\) pour \(t\) négatif et \(z\left(-\frac{L-x}{{c}_{f}}\right)=0\) puisqu’en amont du piston (soit pour \(x\) entre \(-L\) et \(L\) ) la quantité entre parenthèses est toujours négative. De même, on a \(z\left(-\frac{L+x}{{c}_{f}}\right)=0\).

Finalement, il vient:

\[P(x,t) = \frac{\rho_f \, c_f^2}{2 \, e} \left[ 2z(t) - z \left( t-\frac{L-x}{{c}_{f}} \right) - z \left( t-\frac{L+x}{{c}_{f}} \right) \right]\]

On intègre cette expression sur \(x\) afin d’obtenir la résultante des forces de pression sur le piston:

\[R(t) = -H \, {\int}_{-L}^{+L} {P(x,t)\, {dx} } = -2H \, {\int}_{0}^{+L} {P(x,t)\, {dx} }\]

En effet \(P(x,t)\) est paire en \(x\) ; il suffit donc d’intégrer sur la moitié du piston.

D’où l’expression de la résultante des forces de pression sur le piston dans l’hypothèse des petits mouvements:

\[R(t) = - \frac{H \, \rho_f \, c_f^2}{e} \, \left[ 2 \, L \, z(t) - c_f \, \int_{t-\frac{2\, L}{c_f}}^{t} { z(u) \, du } \right]\]

Le mouvement de l’oscillateur obéit donc à l’équation:

\[M\ddot{z} + Kz + \frac{2 \, H \, L \, {\rho}_{f} \, {c}_{f}^{2}}{e} z - \frac{H \, {\rho}_{f} \, {c}_{f}^{3}}{e} \, \int_{t-\frac{2\, L}{c_f}}^{t} { z(u) \, du } = 0\]

ou encore :

\[M\ddot{z} - {F}_{int} - {F}_{cpl} = 0\]

si on pose

\[{F}_{int} = - Kz - \frac{2 \, H \, L \, {\rho}_{f} \, {c}_{f}^{2}}{e} z\]

et

\[{F}_{cpl} = \frac{H \, {\rho}_{f} \, {c}_{f}^{3}}{e} \, \int_{t-\frac{2\, L}{c_f}}^{t} { z(u) \, du }\]

On considère maintenant le cas de la propagation d’une onde de décompression à front raide d’amplitude \(\Delta {P}_{0}\) le long du conduit. A l’instant \(t=0\) , cette onde attaque le piston de paroi encore au repos, créant sur ce piston une force d’excitation telle que:

\[\begin{split}{F}_{exc} = \left \lbrace \begin{array}{ccc} H \, {c}_{f} \, t \, \Delta {P}_{0} & \text{si}& t < \frac{2L}{{c}_{f}}\\ 2 \, H \, L \, \Delta {P}_{0} & \text{si}& t \ge \frac{2L}{{c}_{f}} \end{array} \right .\end{split}\]

L’équation du mouvement s’écrit alors:

\[M\ddot{z} = {F}_{int} + {F}_{cpl} + {F}_{exc}\]

Cette équation est résolue numériquement pour les caractéristiques présentées de l’oscillateur méridien.

2.2. Résultat de référence

Déplacement \(z(t)\) du piston de paroi.

2.3. Incertitude de la solution

Solution analytique.

2.4. Références bibliographiques

1. 6. STIFKENS: «Calcul transitoire dans le Code_Aster avec les éléments vibro-acoustiques». Note interne R&D HP-51/97/026/A.

2. 6. TEPHANY, A. HANIFI, C. LEHAUT: «Éléments d’analyse de l’interaction fluide-structure dans l’espace annulaire cuve-enveloppe de cœur en cas d’APRP» - Note interne SEPTEN ENTMS/94.057.