Solution de référence ===================== Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence -------------------------------------------------------- Le but est de déterminer le déplacement temporel :math:`z(t)` du piston de paroi. On considère le problème plan de ce modèle méridien dont les caractéristiques géométriques, mécaniques et fluides sont décrites sur la [:ref:`figure `]; le piston latéral est de longueur :math:`{2L}` . Le problème bidimensionnel est ramené à un problème monodimensionnel en considérant par approximation que les vitesses d’écoulement transversal :math:`\dot{z}` induites par le mouvement du piston se transmettent instantanément en vitesses axiales dans le canal. Sous le piston de paroi, dans un volume de contrôle d’étendue :math:`dx`, on considère :math:`d\Omega = e \, dx`. On peut alors écrire : .. math:: d(\delta V) = \frac{1}{2e} \, d\dot{z} \, {dx} = \frac{1}{2e} \, \ddot{z} \, {dx} \, {dt} Dans le fluide, la variation de vitesse et la variation de pression en évolution adiabatique sont reliées par: .. math:: d(\delta P) = {\rho}_{f} \, {c}_{f} \, d(\delta V) La pression à l’instant :math:`t` en un point d’abscisse :math:`x` résulte de la superposition de la propagation de toutes les sources élémentaires distribuées sur le piston. Le couplage consiste donc en ceci: le mouvement du piston d’accélération :math:`\ddot{z}(t)` induit dans le canal un champ de pression :math:`P(x,t)` dont l’effort résultant sur l’étendue du piston lui-même agit en retour sur la dynamique de l’oscillateur. Les caractéristiques géométriques, mécaniques et fluides du modèle sont présentées sur la [:ref:`figure `]. On considère d’abord que le piston et le fluide sont au repos et on effectue un lâcher de l’oscillateur à l’instant :math:`t=0` en lui imposant une vitesse initiale. L’expression de la pression en un point du canal se développe : .. math:: P(x,t) = \frac{\rho_f \, c_f}{2 \, e} \, \int_{0}^{t} { \left[ \int_{-L}^{x} { \ddot{z} \left( \tau - \frac{\vert x - u \vert}{c_f} \right) du } + \int_{x}^{L} { \ddot{z} \left( \tau - \frac{\vert u - x \vert}{c_f} \right) du } \, d\tau \right] } On a :math:`z(0)=0` et :math:`z(t)=0` pour :math:`t` négatif et :math:`z\left(-\frac{L-x}{{c}_{f}}\right)=0` puisqu'en amont du piston (soit pour :math:`x` entre :math:`-L` et :math:`L` ) la quantité entre parenthèses est toujours négative. De même, on a :math:`z\left(-\frac{L+x}{{c}_{f}}\right)=0`. Finalement, il vient: .. math:: P(x,t) = \frac{\rho_f \, c_f^2}{2 \, e} \left[ 2z(t) - z \left( t-\frac{L-x}{{c}_{f}} \right) - z \left( t-\frac{L+x}{{c}_{f}} \right) \right] On intègre cette expression sur :math:`x` afin d’obtenir la résultante des forces de pression sur le piston: .. math:: R(t) = -H \, {\int}_{-L}^{+L} {P(x,t)\, {dx} } = -2H \, {\int}_{0}^{+L} {P(x,t)\, {dx} } En effet :math:`P(x,t)` est paire en :math:`x` ; il suffit donc d’intégrer sur la moitié du piston. D’où l’expression de la résultante des forces de pression sur le piston dans l’hypothèse des petits mouvements: .. math:: R(t) = - \frac{H \, \rho_f \, c_f^2}{e} \, \left[ 2 \, L \, z(t) - c_f \, \int_{t-\frac{2\, L}{c_f}}^{t} { z(u) \, du } \right] Le mouvement de l’oscillateur obéit donc à l’équation: .. math:: M\ddot{z} + Kz + \frac{2 \, H \, L \, {\rho}_{f} \, {c}_{f}^{2}}{e} z - \frac{H \, {\rho}_{f} \, {c}_{f}^{3}}{e} \, \int_{t-\frac{2\, L}{c_f}}^{t} { z(u) \, du } = 0 ou encore : .. math:: M\ddot{z} - {F}_{int} - {F}_{cpl} = 0 si on pose .. math:: {F}_{int} = - Kz - \frac{2 \, H \, L \, {\rho}_{f} \, {c}_{f}^{2}}{e} z et .. math:: {F}_{cpl} = \frac{H \, {\rho}_{f} \, {c}_{f}^{3}}{e} \, \int_{t-\frac{2\, L}{c_f}}^{t} { z(u) \, du } On considère maintenant le cas de la propagation d’une onde de décompression à front raide d’amplitude :math:`\Delta {P}_{0}` le long du conduit. A l’instant :math:`t=0` , cette onde attaque le piston de paroi encore au repos, créant sur ce piston une force d’excitation telle que: .. math:: {F}_{exc} = \left \lbrace \begin{array}{ccc} H \, {c}_{f} \, t \, \Delta {P}_{0} & \text{si}& t < \frac{2L}{{c}_{f}}\\ 2 \, H \, L \, \Delta {P}_{0} & \text{si}& t \ge \frac{2L}{{c}_{f}} \end{array} \right . L’équation du mouvement s’écrit alors: .. math:: M\ddot{z} = {F}_{int} + {F}_{cpl} + {F}_{exc} Cette équation est résolue numériquement pour les caractéristiques présentées de l’oscillateur méridien. Résultat de référence --------------------- Déplacement :math:`z(t)` du piston de paroi. Incertitude de la solution -------------------------- Solution analytique. Références bibliographiques --------------------------- 1. F. STIFKENS: «Calcul transitoire dans le *Code_Aster* avec les éléments vibro-acoustiques». Note interne R&D HP-51/97/026/A. 2. F. TEPHANY, A. HANIFI, C. LEHAUT: «Éléments d’analyse de l’interaction fluide-structure dans l’espace annulaire cuve-enveloppe de cœur en cas d’APRP» - Note interne SEPTEN ENTMS/94.057.