1. Problème de référence#
1.1. Géométrie#
On décrit ci-dessous le modèle d’oscillateur fluide-élastique méridien schématisant l’interaction fluide-structure dans l’espace annulaire cuve-enveloppe de cœur.
L’oscillateur fluide élastique méridien est un modèle de l’espace annulaire cuve-enveloppe de cœur de réacteur; il est constitué d’un oscillateur (piston latéral-ressort figurant une paroi mobile) couplé avec un fluide compressible contenu dans un canal à parois rigides et fixes.
Le canal est traversé par une onde de dépressurisation.
La [figure] illustre le modèle décrit.
Fig. 1.1 Schéma global de l’oscillateur fluide-élastique méridien#
Le canal est de section rectangulaire de dimensions \(e \times H\) le piston de paroi est rigide et se déplace uniquement selon \(z\) perpendiculairement à une paroi.
Une onde de dépressurisation arrive par la gauche ; en se dirigeant vers la droite (sans possibilité de retour) cette onde aspire le piston qui, par son déplacement résultant, génère des ondes se propageant vers les extrémités du conduit, supposé infiniment long pour qu’il n’y ait pas de réflexion.
On conçoit une modélisation bidimensionnelle de ce système, représentée sur la [figure].
Fig. 1.2 Représentation mécanique bidimensionnelle théorique#
Ses caractéristiques géométriques sont les suivantes:
longueur du piston de paroi: \({2L}=5,0 \, m\)
hauteur de fluide: \(e=0,5 \, m\)
largeur de fluide: \(H=1,0 \, m\)
section de fluide: \(S=e \times H\)
1.2. Propriétés des matériaux#
Les caractéristiques physiques du matériau fluide (eau chaude) dans le tube sont les suivantes:
masse volumique : \({\rho}_{f}=0,75 \times {10}^{3} \, {kg}/{m}^{3}\) ,
célérité du son : \({c}_{f}=1,0 \times {10}^{3} \, m/s\) .
Les caractéristiques physiques des matériaux constituant le piston de paroi et les pistons d’extrémité n’ont qu’un rôle formel dans le calcul car la structure (le canal) est considérée comme parfaitement rigide.
Ces caractéristiques physiques de matériau sont les suivantes:
module d’Young \(E=2,0 \times {10}^{12} \,{Pa}\) ,
coefficient de Poisson \(\nu = 0,3\) ,
masse volumique \({\rho}_{s}=0\, {kg}/{m}^{3}\) .
1.3. Caractéristiques des ressorts, masses et amortisseurs#
Les caractéristiques du piston de paroi en tant qu’oscillateur sont les suivantes:
Raideur: \(K=5,0 \times {10}^{10} \, N/m\)
Masse: \(M=200,0 \times {10}^{3} \, {kg}\)
Amortissement: \(A = 0 \ {Ns}/m\)
Les caractéristiques des pistons d’extrémité en tant qu’oscillateurs sont les suivantes:
Raideur: \(k=0,0 \, N/m\)
Masse: \(m=0,0 \, {kg}\)
Amortissement: \(a={\rho}_{f} \, {c}_{f} \, S = 37,5 \times {10}^{4} \, {Ns}/m\)
1.4. Conditions aux limites et chargements#
Le piston de paroi est infiniment rigide et son déplacement est uniquement selon l’axe vertical.
La longueur de fluide est infinie et il n’y donc pas de réflexion d’extrémité des ondes: cette condition aux limites est simulée dans le modèle par un piston à chaque extrémité, de masse nulle, se déplaçant uniquement selon l’axe des \(x\) et muni d’un amortisseur à amortissement \(a\) adéquat; ces pistons sont de plus infiniment rigides.
On a une réflexion totale des ondes sur des parois infiniment rigides du tube de fluide. Cette condition est réalisée simplement en omettant de modéliser la paroi par des éléments de structure.