2. Solution de référence#
2.1. Résultats de référence#
La méthode fréquentielle de couplage entre Miss3D et Code_Aster est décrite dans le document de référence [bib1].
On teste le module des déplacements radiaux obtenus à l’extérieur et à l’intérieur de la boule par rapport à une solution analytique calculée et détaillée dans une étude applicative [bib2]. Les solutions en pression et développement ne dépendent que du rayon et du temps. On considère que la pression totale dans le fluide est due à la somme de deux contributions:
la pression \({p}_{d}\) due à la vibration de la paroi à l’interface avec le milieu solide,
la pression \({p}_{0}\) due à l’action de la masse de Dirac au centre de la sphère, dans un fluide infini
\(p={p}_{d}+{p}_{0}\)
L’équation d’Helmholtz de propagation des ondes dans le fluide en absence de source s’écrit en coordonnées sphériques après transformation de Fourier :
\(\frac{1}{{r}^{2}}\frac{\delta}{\delta r}({r}^{2}\frac{\delta {p}_{d}}{\delta r})(r,\omega )+\frac{\omega}{{c}_{f}^{2}}{p}_{d}(r,\omega )=0\)
En posant : \({k}_{f}(\omega )=\frac{\omega}{{c}_{f}}\) , on obtient une solution de la forme \({p}_{d}=A(\sin\frac{({k}_{f}r)}{4\pi r})\) ,
La solution pour la pression \({p}_{0}\) est donnée par une fonction de Green et la pression dans le fluide s’écrit : \(p=\frac{{e}^{i{k}_{f}r}}{4\pi r}+A(\sin\frac{({k}_{f}r)}{4\pi r})\)
L’équation de Navier de propagation des ondes dans le solide en absence de source s’écrit en coordonnées sphériques après transformation de Fourier et en effectuant le changement de variables \(u=\frac{\delta \phi }{\delta r}\) :
\(\frac{{\delta}^{2}}{\delta {r}^{2}}(r\phi )(r,\omega )+{k}_{p}^{2}(r\phi )(r,\omega )=0\)
En posant \({k}_{p}(\omega )=\frac{\omega}{{c}_{p}}\) , on obtient une solution de la forme :
\(u=B\frac{{e}^{i{k}_{p}r}}{4\pi r}(\frac{i{k}_{p}r-1}{r})+C\frac{{e}^{-i{k}_{p}r}}{4\pi r}(\frac{-i{k}_{p}r-1}{r})\) .
Les 3 coefficients inconnus \(A\) , \(B\) et \(C\) sont alors déterminés à partir de 3 conditions limites:
Continuité des déplacements normaux à l’interface sol-fluide \(\rho {\omega}^{2}u=\mathrm{grad}(p)\) pour \(r={r}_{1}\) ,
Continuité des contraintes normales à l’interface sol-fluide \({\sigma}_{\mathrm{rr}}+p=0\) pour \(r={r}_{1}\) ,
Contrainte radiale nulle sur la surface externe nulle \({\sigma}_{\mathrm{rr}}=0\) pour \(r={r}_{2}\) ,
2.2. Références bibliographiques#
CLOUTEAU: «Manuel de référence de MISS3D – version 6.3 – Centrale Recherche SA»
DEVESA, M.FESTA: «étude avec le Code_Aster et son interface avec MISS3D de l’interaction Sol-Structure-Fluide : Application au calcul dynamique des barrages-voûtes», EDF/R&D HP-52/99/001/A.