Solution de référence ===================== Résultats de référence ---------------------- La méthode fréquentielle de couplage entre Miss3D et *Code_Aster* est décrite dans le document de référence [:ref:`bib1 `]. On teste le module des déplacements radiaux obtenus à l'extérieur et à l'intérieur de la boule par rapport à une solution analytique calculée et détaillée dans une étude applicative [:ref:`bib2 `]. Les solutions en pression et développement ne dépendent que du rayon et du temps. On considère que la pression totale dans le fluide est due à la somme de deux contributions: * la pression :math:`{p}_{d}` due à la vibration de la paroi à l'interface avec le milieu solide, * la pression :math:`{p}_{0}` due à l'action de la masse de Dirac au centre de la sphère, dans un fluide infini * :math:`p={p}_{d}+{p}_{0}` L'équation d'Helmholtz de propagation des ondes dans le fluide en absence de source s'écrit en coordonnées sphériques après transformation de Fourier : :math:`\frac{1}{{r}^{2}}\frac{\delta}{\delta r}({r}^{2}\frac{\delta {p}_{d}}{\delta r})(r,\omega )+\frac{\omega}{{c}_{f}^{2}}{p}_{d}(r,\omega )=0` * En posant : :math:`{k}_{f}(\omega )=\frac{\omega}{{c}_{f}}` , on obtient une solution de la forme :math:`{p}_{d}=A(\sin\frac{({k}_{f}r)}{4\pi r})` , La solution pour la pression :math:`{p}_{0}` est donnée par une fonction de Green et la pression dans le fluide s'écrit : :math:`p=\frac{{e}^{i{k}_{f}r}}{4\pi r}+A(\sin\frac{({k}_{f}r)}{4\pi r})` L'équation de Navier de propagation des ondes dans le solide en absence de source s'écrit en coordonnées sphériques après transformation de Fourier et en effectuant le changement de variables :math:`u=\frac{\delta \phi }{\delta r}` : :math:`\frac{{\delta}^{2}}{\delta {r}^{2}}(r\phi )(r,\omega )+{k}_{p}^{2}(r\phi )(r,\omega )=0` * En posant :math:`{k}_{p}(\omega )=\frac{\omega}{{c}_{p}}` , on obtient une solution de la forme : :math:`u=B\frac{{e}^{i{k}_{p}r}}{4\pi r}(\frac{i{k}_{p}r-1}{r})+C\frac{{e}^{-i{k}_{p}r}}{4\pi r}(\frac{-i{k}_{p}r-1}{r})` . Les 3 coefficients inconnus :math:`A` , :math:`B` et :math:`C` sont alors déterminés à partir de 3 conditions limites: * Continuité des déplacements normaux à l'interface sol-fluide :math:`\rho {\omega}^{2}u=\mathrm{grad}(p)` pour :math:`r={r}_{1}` , * Continuité des contraintes normales à l'interface sol-fluide :math:`{\sigma}_{\mathrm{rr}}+p=0` pour :math:`r={r}_{1}` , * Contrainte radiale nulle sur la surface externe nulle :math:`{\sigma}_{\mathrm{rr}}=0` pour :math:`r={r}_{2}` , Références bibliographiques --------------------------- 1. D. CLOUTEAU: «Manuel de référence de MISS3D – version 6.3 – Centrale Recherche SA» 2. G. DEVESA, M.FESTA: «étude avec le *Code_Aster* et son interface avec MISS3D de l'interaction Sol-Structure-Fluide : Application au calcul dynamique des barrages-voûtes», EDF/R&D HP-52/99/001/A.