2. Solution de référence#
2.1. Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence#
La solution de référence est une solution analytique approchée. Les potentiels fluctuants analytiques approchés pour calculer la rigidité ajoutée s’écrivent [bib1]:
\(\lbrace \begin{array}{ccc}{\varphi}_{1}(r,\theta ,y)=& \frac{{R}_{e}^{2}}{{R}_{e}^{2}-{R}_{i}^{2}}(r+\frac{{R}_{i}^{2}}{r})& \sin\theta \sin\frac{\pi (y+l/2)}{l}\\ {\varphi}_{2}(r,\theta ,y)=& \frac{{R}_{e}^{2}}{{R}_{e}^{2}-{R}_{i}^{2}}(r+\frac{{R}_{i}^{2}}{r})& \sin\theta \cos\frac{\pi (y+l/2)}{l}\end{array}\)
La rigidité ajoutée sur le premier mode de flexion du cylindre extérieur considéré comme une poutre rotulé-rotulé s’écrit [bib1]:
\({K}_{A}=-\frac{\rho}{2}\frac{{V}_{0}^{2}{\pi}^{3}{R}_{e}^{3}}{({R}_{e}^{2}-{R}_{i}^{2})l}({R}_{e}+\frac{{R}_{i}^{2}}{{R}_{e}})\)
Cette rigidité, calculée sur une géométrie cylindrique, est ensuite affectée à un modèle à un degré de liberté équivalent.
Le système à un degré de liberté équivalent est un système masse-ressort équivalent auquel on affecte une masse égale à la masse du système augmentée de la masse ajoutée par le fluide et une rigidité égale à la rigidité du système augmentée de la rigidité ajoutée par l’écoulement pour différentes vitesses.
La masse du système en air est de :
\(M=10292\mathit{kg}\)
pour une coque cylindrique externe d’épaisseur:
\(C={2.10}^{-3}m\)
Pour rigidité équivalente en air du système « coque externe », on prend la rigidité d’une poutre soumise à une force répartie sur toute sa longueur:
ainsi \(K=2.533{10}^{4}N/m\)
Le système équivalent couplé à l’écoulement est représenté par le schéma suivant:
avec \(m=M+{M}_{A}\) \(k=K+{K}_{A}\)
La pulsation propre du système couplé évolue en fonction du carré de la vitesse d’écoulement. Si on appelle \({V}_{{0}_{C}}\) la vitesse critique d’écoulement pour laquelle la rigidité \(k\) s’annule:
\(\exists {V}_{{0}_{C}},K+{K}_{A}({V}_{{0}_{C}})=0\) avec \({V}_{{0}_{C}}^{2}=\frac{2({R}_{e}^{2}-{R}_{i}^{2})lK}{({R}_{e}+\frac{{R}_{i}^{2}}{{R}_{e}})\rho {\pi}^{3}{R}_{e}^{3}}\)
alors on montre que:
\(\omega ({V}_{0})={\omega}_{e}(0)\sqrt{1-{x}^{2}}\)
où l’on a posé:
\({\omega}_{e}(0)=\sqrt{\frac{K}{M+{M}_{A}}}\) (pulsation propre du système en fluide au repos)
\(x=\frac{{V}_{0}}{{V}_{{0}_{C}}}\) (vitesse réduite de l’écoulement)
La pulsation du fluide au repos vaut: \(\omega =0.085\mathit{rad}/s\) .
2.2. Résultats de référence#
On calcule pour différentes vitesses d’écoulement la fréquence propre du système.
\({V}_{0}(m/s)\) |
0.5 |
1.5 |
2.2 |
2.688 |
|
\({M}_{A}(\mathit{kg})\) |
3.486E6 |
3.486E6 |
3.486E6 |
3.486E6 |
3.486E6 |
\({K}_{A}(N/m)\) |
–876.5 |
–7888.50 |
–14023.95 |
–16968.98 |
–25330 |
\({M}_{\mathrm{total}}(\mathrm{kg})\) |
3.491E+6 |
= |
= |
= |
= |
\({K}_{\mathit{total}}(N/m)\) |
24453.5 |
17441.5 |
11306.05 |
8361.00 |
|
\(f({V}_{0})\times {10}^{-2}(\mathit{Hz})\) |
1.318 |
1.112 |
0.896 |
0.772 |
2.3. Incertitude sur la solution#
Solution semi-analytique.
2.4. Références bibliographique#
ROUSSEAU G., LUU H.T. - Masse, amortissement et raideur ajoutés pour une structure vibrante placée dans un écoulement potentiel - Note interne EDF/DER, HP-61/95/064/A (1995).