Solution de référence ===================== Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence -------------------------------------------------------- La solution de référence est une solution analytique approchée. Les potentiels fluctuants analytiques approchés pour calculer la rigidité ajoutée s'écrivent [:ref:`bib1 `]: :math:`\lbrace \begin{array}{ccc}{\varphi}_{1}(r,\theta ,y)=& \frac{{R}_{e}^{2}}{{R}_{e}^{2}-{R}_{i}^{2}}(r+\frac{{R}_{i}^{2}}{r})& \sin\theta \sin\frac{\pi (y+l/2)}{l}\\ {\varphi}_{2}(r,\theta ,y)=& \frac{{R}_{e}^{2}}{{R}_{e}^{2}-{R}_{i}^{2}}(r+\frac{{R}_{i}^{2}}{r})& \sin\theta \cos\frac{\pi (y+l/2)}{l}\end{array}` La rigidité ajoutée sur le premier mode de flexion du cylindre extérieur considéré comme une poutre rotulé-rotulé s'écrit [:ref:`bib1 `]: :math:`{K}_{A}=-\frac{\rho}{2}\frac{{V}_{0}^{2}{\pi}^{3}{R}_{e}^{3}}{({R}_{e}^{2}-{R}_{i}^{2})l}({R}_{e}+\frac{{R}_{i}^{2}}{{R}_{e}})` Cette rigidité, calculée sur une géométrie cylindrique, est ensuite affectée à un modèle à un degré de liberté équivalent. Le système à un degré de liberté équivalent est un système masse-ressort équivalent auquel on affecte une masse égale à la masse du système augmentée de la masse ajoutée par le fluide et une rigidité égale à la rigidité du système augmentée de la rigidité ajoutée par l'écoulement pour différentes vitesses. La masse du système en air est de : :math:`M=10292\mathit{kg}` pour une coque cylindrique externe d'épaisseur: :math:`C={2.10}^{-3}m` Pour rigidité équivalente en air du système "coque externe", on prend la rigidité d'une poutre soumise à une force répartie sur toute sa longueur: .. image:: images/10000D66000027610000052B117D0A01DB11CF31.svg :width: 508 :height: 66 .. _RefImage_10000D66000027610000052B117D0A01DB11CF31.svg: ainsi :math:`K=2.533{10}^{4}N/m` Le système équivalent couplé à l'écoulement est représenté par le schéma suivant: .. image:: images/1000027200000B0F0000052BB5A3FD7B4A90F759.svg :width: 508 :height: 66 .. _RefImage_1000027200000B0F0000052BB5A3FD7B4A90F759.svg: avec :math:`m=M+{M}_{A}` :math:`k=K+{K}_{A}` La pulsation propre du système couplé évolue en fonction du carré de la vitesse d'écoulement. Si on appelle :math:`{V}_{{0}_{C}}` la vitesse critique d'écoulement pour laquelle la rigidité :math:`k` s'annule: :math:`\exists {V}_{{0}_{C}},K+{K}_{A}({V}_{{0}_{C}})=0` avec :math:`{V}_{{0}_{C}}^{2}=\frac{2({R}_{e}^{2}-{R}_{i}^{2})lK}{({R}_{e}+\frac{{R}_{i}^{2}}{{R}_{e}})\rho {\pi}^{3}{R}_{e}^{3}}` alors on montre que: :math:`\omega ({V}_{0})={\omega}_{e}(0)\sqrt{1-{x}^{2}}` où l’on a posé: :math:`{\omega}_{e}(0)=\sqrt{\frac{K}{M+{M}_{A}}}` (pulsation propre du système en fluide au repos) :math:`x=\frac{{V}_{0}}{{V}_{{0}_{C}}}` (vitesse réduite de l'écoulement) La pulsation du fluide au repos vaut: :math:`\omega =0.085\mathit{rad}/s` . Résultats de référence ---------------------- On calcule pour différentes vitesses d'écoulement la fréquence propre du système. .. csv-table:: ":math:`{V}_{0}(m/s)`", "0.5", "1.5", "2.", "2.2", "2.688" ":math:`{M}_{A}(\mathit{kg})`", "3.486E6", "3.486E6", "3.486E6", "3.486E6", "3.486E6" ":math:`{K}_{A}(N/m)`", "–876.5", "–7888.50", "–14023.95", "–16968.98", "–25330" ":math:`{M}_{\mathrm{total}}(\mathrm{kg})`", "3.491E+6", "=", "=", "=", "=" ":math:`{K}_{\mathit{total}}(N/m)`", "24453.5", "17441.5", "11306.05", "8361.00", "0." ":math:`f({V}_{0})\times {10}^{-2}(\mathit{Hz})`", "1.318", "1.112", "0.896", "0.772", "0." Incertitude sur la solution --------------------------- Solution semi-analytique. Références bibliographique -------------------------- 1. ROUSSEAU G., LUU H.T. - Masse, amortissement et raideur ajoutés pour une structure vibrante placée dans un écoulement potentiel - Note interne EDF/DER, HP-61/95/064/A (1995).