2. Solution de référence (modélisations A,B et C)#

2.1. Validation du terme d’échange hydrique à partir du terme d’échange thermique#

On pose un certain nombre d’hypothèses afin faire l’analogie avec le cas thermique :

  • la température est constante (pas de calcul thermique);

  • la pression de gaz est constante;

  • La pression de vapeur est négligeables ;

  • On néglige la diffusion de Fick;

  • Le matériau est indéformable (pas de calculs mécanique) ;

  • La gravité est nulle ;

  • L’eau est incompressible \({\rho}_{w}=\mathit{cste}\) .

On rappelle que la loi de Darcy(voir R7.01.11) pour la phase gazeuse s’écrit:

(2.1)#\[{M}_{\mathit{gz}}=-{\rho}_{\mathit{gz}}{\lambda}_{\mathit{gz}}^{H}\nabla {p}_{\mathit{gz}}\]

avec:

  • \({M}_{\mathit{gz}}\) le flux degaz;

  • \({\rho}_{\mathit{gz}}\) la masse volumique du gaz;

  • \({\lambda}_{\mathit{gz}}^{H}\) la conductivité hydraulique du gaz;

  • \({p}_{\mathit{gz}}\) la pression de gaz.

Or:

(2.2)#\[{p}_{\mathit{gz}}=\mathit{cste}\Rightarrow \nabla {p}_{\mathit{gz}}=0\]

Donc:

(2.3)#\[{M}_{\mathit{gz}}={M}_{\mathit{as}}+{M}_{\mathit{vp}}=0\]

Comme on néglige la diffusion de Fick, alors:

(2.4)#\[{M}_{\mathit{ad}}={M}_{\mathit{vp}}=0\]

Par()et():

(2.5)#\[{M}_{\mathit{as}}=0\]

Ainsi on peut simplifier le problème qui se résume à l’équation de conservation de la masse d’eau liquide:

(2.6)#\[\dot{{m}_{w}}+\text{Div}({M}_{w})=0\]

Or \({m}_{w}={\rho}_{w}\varphi S(1+\mathit{Tr}(\epsilon ))-{\rho}_{w}^{0}{\varphi}^{0}{S}^{0}\) , avec:

  • \({\rho}_{w}\) la masse volumique de l’eau, \({\rho}_{w}^{0}\) la masse volumique à l’état initial ;

  • \(\varphi =\frac{{V}_{\mathit{vide}}}{V}\) la porosité du matériau, \({V}_{\mathit{vide}}\) correspondant aux pores non remplis, \(V\) à la porosité du matériau à l’état initial ;

  • \(S=\frac{{V}_{\mathit{lq}}}{{V}_{\mathit{vide}}}\) la saturation en eau, \({S}^{0}\) la saturation initiale;

  • \(\epsilon\) la déformation du matériau;

On considère que le matériau est indéformable: \(\epsilon =0\) et \(\varphi =\mathit{cste}={\varphi}^{0}\) et que l’eau est incompressible, \({\rho}_{w}={\rho}_{w}^{0}\) . Alors :

(2.7)#\[{m}_{w}(t)={\rho}_{w}^{0}\varphi (S(t)-{S}^{0})\]

Ce qui implique:

(2.8)#\[\dot{{m}_{w}}(t)={\rho}_{w}\varphi {\partial}_{t}S({p}_{c}(t))={\rho}_{w}\varphi {S}^{'}({p}_{c})\times \dot{{p}_{c}}(t)\]

Comme on néglige les effets de la gravité, la loi de Darcy pour la phase liquide s’écrit:

(2.9)#\[{M}_{\mathit{lq}}={M}_{w}=-{\rho}_{w}{\lambda}_{\mathit{lq}}^{H}(S)\nabla {p}_{w}\]

Or \({p}_{c}={p}_{\mathit{gz}}-{p}_{\mathit{lq}}={p}_{\mathit{atm}}-{p}_{w}\) . Alors \(\nabla {p}_{c}=-\nabla {p}_{w}\) et donc \({M}_{w}={\rho}_{w}{\lambda}_{w}^{H}(S)\nabla {p}_{c}\) .

En remplaçant \({M}_{w}\) et \(\dot{{m}_{w}}\) par leurs dernières expressions dans () et en supposant \({\lambda}_{w}^{H}(S)=\frac{K\times {K}_{\mathit{rl}}(S)}{\mu}\) constante:

(2.10)#\[{\rho}_{w}\varphi {S}^{'}({p}_{c})\times \dot{{p}_{c}}(t)+{\lambda}_{w}^{H}(S)\text{Div}({\rho}_{w}.\nabla {p}_{c})=0\]

L’eau est supposée incompressible donc:

(2.11)#\[{\rho}_{w}\varphi {S}^{'}({p}_{c})\times \dot{{p}_{c}}(t)+{\rho}_{w}{\lambda}_{w}^{H}(S)\text{Div}(\nabla {p}_{c})=0\]

\({\rho}_{w}\varphi {S}^{'}({p}_{c})\times \dot{{p}_{c}}(t)+{\rho}_{w}{\lambda}_{w}^{H}(S)\text{Div}(\text{}\nabla {p}_{c})=0\)

Avec l’opérateur laplacien:

(2.12)#\[{\rho}_{w}\varphi {S}^{'}({p}_{c})\times \dot{{p}_{c}}(t)+{\rho}_{w}{\lambda}_{w}^{H}(S)\Delta {p}_{c}=0\]

Finalement:

(2.13)#\[{\partial}_{t}{p}_{c}+\frac{{\lambda}_{w}^{H}(S)}{\varphi {S}^{'}({p}_{c})}\Delta {p}_{c}=0\]

Pour fermer le système, on ajoute:

  • lacondition initiale : \({p}_{c}(x,0):=10000\mathit{Pa}\) ;

  • lacondition mixte sur [BC] (ou [BCFG] selon la géométrie) : \({\lambda}^{H}\nabla ({p}_{c}.n)={h}^{H}({p}_{\mathit{ext}}-{p}_{c})\) .

Cette formulation s’apparente à une équation de la chaleur sans terme source, de la forme:

(2.14)#\[\rho {C}_{p}{\partial}_{t}T+\text{Div}(q)=0\]

En prenant la loi de Fourier qui relie le flux de chaleur \(q\) au gradient de température, à savoir:

(2.15)#\[q=-\lambda \nabla T\]

En supposant que :math:`lambda ` est une constante, caractéristique du matériau:

(2.16)#\[{\partial}_{t}T-\frac{\lambda}{\rho {C}_{p}}\Delta T=0\]

Où \(\rho ` est la masse volumique du béton, :math:`{C}_{p}\) la chaleur spécifique du matériau et :math:`lambda ` la conductivité thermique.

Le problème thermique est ainsi déjà traité dans THER_NON_LINE. On peut alors comparer les résultats du problème thermique avec ceux du problème THM, en prenant des conditions de fermeture de même type que dans le cas THM i.e.en posant :

\(\begin{array}{c}T(x,0)=\mathit{cste}\\ \lambda (\text{}\nabla T.n)={h}_{T}({T}_{\mathit{ext}}-T)\mathit{au}\mathit{bord}\end{array}\)

En s’assurant de plus que:

  • \(T(x,0)=\mathit{cste}:={p}_{c}(x,0)=10000\) ;

  • \(-\rho {C}_{p}≔\varphi {S}^{'}({p}_{c})\)

  • \(\lambda :={\lambda}^{H}\)

  • \({h}_{T}:={h}^{H}\)

  • \({T}_{\mathit{ext}}:={p}_{\mathit{ext}}\)

Par la suite, on s’appuie alors sur les modélisations thermiques AXIS, PLAN_DIAG, et 3D que l’on compare aux modélisations AXIS_THH2MS, D_PLAN_THH2MS et 3D_THH2MS, respectivement.