Solution de référence (modélisations A,B et C)
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Validation du terme d'échange hydrique à partir du terme d'échange thermique 
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On pose un certain nombre d’hypothèses afin faire l’analogie avec le cas thermique :


*   la température est constante (pas de calcul thermique);


*   la pression de gaz est constante;


*   La pression de vapeur est négligeables ;


*   On néglige la diffusion de Fick;


*   Le matériau est indéformable (pas de calculs mécanique) ;


*   La gravité est nulle ;


*   L’eau est incompressible :math:`{\rho}_{w}=\mathit{cste}` .

On rappelle que la loi de Darcy(voir R7.01.11) pour la phase gazeuse s’écrit:

.. math::
    :label: eq-2

    {M}_{\mathit{gz}}=-{\rho}_{\mathit{gz}}{\lambda}_{\mathit{gz}}^{H}\nabla {p}_{\mathit{gz}}

avec:


*   :math:`{M}_{\mathit{gz}}` le flux degaz;


*   :math:`{\rho}_{\mathit{gz}}` la masse volumique du gaz;


*   :math:`{\lambda}_{\mathit{gz}}^{H}` la conductivité hydraulique du gaz;


*   :math:`{p}_{\mathit{gz}}` la pression de gaz.

Or:

.. math::
    :label: eq-3

    {p}_{\mathit{gz}}=\mathit{cste}\Rightarrow \nabla {p}_{\mathit{gz}}=0

Donc:

.. math::
    :label: eq-4

    {M}_{\mathit{gz}}={M}_{\mathit{as}}+{M}_{\mathit{vp}}=0

Comme on néglige la diffusion de Fick, alors:

.. math::
    :label: eq-5

    {M}_{\mathit{ad}}={M}_{\mathit{vp}}=0

Par()et():

.. math::
    :label: eq-6

    {M}_{\mathit{as}}=0

Ainsi on peut simplifier le problème qui se résume à l'équation de conservation de la masse d'eau liquide:

.. math::
    :label: eq-7

    \dot{{m}_{w}}+\text{Div}({M}_{w})=0

Or :math:`{m}_{w}={\rho}_{w}\varphi S(1+\mathit{Tr}(\epsilon ))-{\rho}_{w}^{0}{\varphi}^{0}{S}^{0}` , avec:


*   :math:`{\rho}_{w}` la masse volumique de l’eau, :math:`{\rho}_{w}^{0}` la masse volumique à l’état initial ;


*   :math:`\varphi =\frac{{V}_{\mathit{vide}}}{V}` la porosité du matériau, :math:`{V}_{\mathit{vide}}` correspondant aux pores non remplis, :math:`V` à la porosité du matériau à l’état initial ;


*   :math:`S=\frac{{V}_{\mathit{lq}}}{{V}_{\mathit{vide}}}` la saturation en eau, :math:`{S}^{0}` la saturation initiale;


*   :math:`\epsilon` la déformation du matériau;

On considère que le matériau est indéformable: :math:`\epsilon =0` et :math:`\varphi =\mathit{cste}={\varphi}^{0}` et que l’eau est incompressible, :math:`{\rho}_{w}={\rho}_{w}^{0}` . Alors :

.. math::
    :label: eq-8

    {m}_{w}(t)={\rho}_{w}^{0}\varphi (S(t)-{S}^{0})

Ce qui implique:

.. math::
    :label: eq-9

    \dot{{m}_{w}}(t)={\rho}_{w}\varphi {\partial}_{t}S({p}_{c}(t))={\rho}_{w}\varphi {S}^{'}({p}_{c})\times \dot{{p}_{c}}(t)

Comme on néglige les effets de la gravité, la loi de Darcy pour la phase liquide s’écrit:

.. math::
    :label: eq-10

    {M}_{\mathit{lq}}={M}_{w}=-{\rho}_{w}{\lambda}_{\mathit{lq}}^{H}(S)\nabla {p}_{w}

Or :math:`{p}_{c}={p}_{\mathit{gz}}-{p}_{\mathit{lq}}={p}_{\mathit{atm}}-{p}_{w}` . Alors :math:`\nabla {p}_{c}=-\nabla {p}_{w}` et donc :math:`{M}_{w}={\rho}_{w}{\lambda}_{w}^{H}(S)\nabla {p}_{c}` .

En remplaçant :math:`{M}_{w}` et :math:`\dot{{m}_{w}}` par leurs dernières expressions dans () et en supposant :math:`{\lambda}_{w}^{H}(S)=\frac{K\times {K}_{\mathit{rl}}(S)}{\mu}` constante:

.. math::
    :label: eq-11

    {\rho}_{w}\varphi {S}^{'}({p}_{c})\times \dot{{p}_{c}}(t)+{\lambda}_{w}^{H}(S)\text{Div}({\rho}_{w}.\nabla {p}_{c})=0

L’eau est supposée incompressible donc:

.. math::
    :label: eq-12

    {\rho}_{w}\varphi {S}^{'}({p}_{c})\times \dot{{p}_{c}}(t)+{\rho}_{w}{\lambda}_{w}^{H}(S)\text{Div}(\nabla {p}_{c})=0

:math:`{\rho}_{w}\varphi {S}^{'}({p}_{c})\times \dot{{p}_{c}}(t)+{\rho}_{w}{\lambda}_{w}^{H}(S)\text{Div}(\text{}\nabla {p}_{c})=0`

Avec l’opérateur laplacien:

.. math::
    :label: eq-13

    {\rho}_{w}\varphi {S}^{'}({p}_{c})\times \dot{{p}_{c}}(t)+{\rho}_{w}{\lambda}_{w}^{H}(S)\Delta {p}_{c}=0

Finalement:

.. math::
    :label: eq-14

    {\partial}_{t}{p}_{c}+\frac{{\lambda}_{w}^{H}(S)}{\varphi {S}^{'}({p}_{c})}\Delta {p}_{c}=0

Pour fermer le système, on ajoute:


*   lacondition initiale : :math:`{p}_{c}(x,0):=10000\mathit{Pa}` ;


*   lacondition mixte sur [BC] (ou [BCFG] selon la géométrie) : :math:`{\lambda}^{H}\nabla ({p}_{c}.n)={h}^{H}({p}_{\mathit{ext}}-{p}_{c})` .

Cette formulation s’apparente à une équation de la chaleur sans terme source, de la forme:

.. math::
    :label: eq-15

    \rho {C}_{p}{\partial}_{t}T+\text{Div}(q)=0

En prenant la loi de Fourier qui relie le flux de chaleur :math:`q` au gradient de température, à savoir:

.. math::
    :label: eq-16

    q=-\lambda \nabla T

En supposant que :math:`\lambda ` est une constante, caractéristique du matériau:

.. math::
    :label: eq-17

    {\partial}_{t}T-\frac{\lambda}{\rho {C}_{p}}\Delta T=0

Où :math:`\rho ` est la masse volumique du béton, :math:`{C}_{p}` la chaleur spécifique du matériau et :math:`\lambda ` la conductivité thermique.

Le problème thermique est ainsi déjà traité dans THER_NON_LINE. On peut alors comparer les résultats du problème thermique avec ceux du problème THM, en prenant des conditions de fermeture de même type que dans le cas THM i.e.en posant :

:math:`\begin{array}{c}T(x,0)=\mathit{cste}\\ \lambda (\text{}\nabla T.n)={h}_{T}({T}_{\mathit{ext}}-T)\mathit{au}\mathit{bord}\end{array}`

En s’assurant de plus que:


*   :math:`T(x,0)=\mathit{cste}:={p}_{c}(x,0)=10000` ;


*   :math:`-\rho {C}_{p}≔\varphi {S}^{'}({p}_{c})`


*   :math:`\lambda :={\lambda}^{H}`


*   :math:`{h}_{T}:={h}^{H}`


*   :math:`{T}_{\mathit{ext}}:={p}_{\mathit{ext}}`

Par la suite, on s’appuie alors sur les modélisations thermiques AXIS, PLAN_DIAG, et 3D que l'on compare aux modélisations AXIS_THH2MS, D_PLAN_THH2MS et 3D_THH2MS, respectivement.