2. Solution de référence#

2.1. Méthode de calcul#

Compte tenu des conditions aux limites, les déplacements peuvent être obtenus à partir de la résolution analytique de l’équation de conservation de la quantité de mouvement.

En négligeant la pesanteur, l’équation s’écrit (en contraintes totales):

\(\text{Div}(\sigma )=0\)

Dans le cas d’une modélisation couplée, le tenseur des contraintes totales s’écrit:

\(\sigma =\sigma '-\mathit{bp}1\)

\(\sigma '\) est le tenseur des contraintes dans le squelette, \(b\) le coefficient de Biot et \(p\) et la pression de pore dans le massif. Le module de Poisson \(\nu\) étant nul , et étant dans le cas élastique, on a \(\sigma '=Eϵ\) .

\(\nu\) étant nul, les conditions aux limites et le chargement rendent le problème unidimensionnel selon \(y\) . Seul \({ϵ}_{yy}\) est non nul et donc dans chaque bloc:

\(\sigma =E{ϵ}_{yy}{e}_{y}\otimes {e}_{y}-{\mathit{bp}}_{i}1\)

avec \({p}_{i}\) la pression de pore imposée dans le bloc courant.

Donc dans chaque bloc, le tenseur des contraintes totales s’écrit sous la forme:

\(\sigma ={\sigma}_{xx}{e}_{x}\otimes {e}_{x}+{\sigma}_{yy}{e}_{y}\otimes {e}_{y}\)

Or dans chaque bloc, les conditions aux limites au niveau des lèvres des interfaces qui délimitent les blocs s’écrivent \(\sigma .n=-Pn\) , donc:

\(\begin{array}{c}({\sigma}_{xx}{e}_{x}\otimes {e}_{x}+{\sigma}_{yy}{e}_{y}\otimes {e}_{y}).n=-Pn\\ {\sigma}_{xx}({e}_{x}.n){e}_{x}+{\sigma}_{yy}({e}_{y}.n){e}_{y}=-Pn\\ ({\sigma}_{xx}({e}_{x}.n){e}_{x}+{\sigma}_{yy}({e}_{y}.n){e}_{y}).{e}_{y}=-P({e}_{y}.n)\\ {\sigma}_{yy}({e}_{y}.n)=-P({e}_{y}.n)\\ {\sigma}_{yy}=-P\text{car}{e}_{y}.n\ne 0\end{array}\)

Finalement dans chaque bloc

\({\sigma}_{yy}=E{ϵ}_{yy}-{\mathit{bp}}_{i}=-P\) soit \({ϵ}_{yy}=\frac{-P+{\mathit{bp}}_{i}}{E}\)

avec \({p}_{i}\) la pression de pore imposée dans le bloc courant.

2.2. Grandeurs et résultats de référence#

En particulier on s’intéresse aux déplacements selon la direction \(y\) dans chaque bloc:

  • dans le bloc inférieur, d’après les conditions aux limites, \({u}_{y}(y)=\frac{-P+{\mathit{bp}}_{1}}{E}\ast (\frac{L}{2}+y)\)

  • dans le bloc inférieur, les déplacements sont symétriques par rapport à l’axe \((\mathit{Ox})\) . En effet, ce bloc est symétrique par rapport à l’axe \((\mathit{Ox})\) et les conditions aux limites et les chargements qui lui sont appliquées suivent également cette symétrie (pression mécanique répartie sur les lèvres de fissure et encastrement du point \(A\) ). Les déplacements verticaux s’écrivent donc: \({u}_{y}(y)=\frac{-P+{\mathit{bp}}_{2}}{E}\ast y\)

  • dans le bloc supérieur, d’après les conditions aux limites, \({u}_{y}(y)=\frac{-P+{\mathit{bp}}_{3}}{E}\ast (\frac{-L}{2}+y)\)

2.3. Incertitude sur la solution#

Aucune, il s’agit d’une solution analytique.